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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,(习题课),二面角,l,从空间一直线出发的两个半,一,、,二面角的定义,二,、,二面角的平面角,的平面角,一个平面垂直于二面角,的棱，且与两个半平,面的交线分别是射线,OA,、,OB,垂足为,O,，则,APB,叫做二面,角,A,B,O,l,l,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,例1 如图,P,为二面角,l,内一点，,PA,于点,A,PB,于点,B,且,PA,=,5,，,PB,=,8,，,AB,=,7,，求这二面角的度数。,设,l,与平面,PAB,相交于点,O,PA,PB,PA,l,PA,l,l,平面,PAB,连结,AO,、,BO,则,AOB,为二面角,l,的平面角,又,PA,=,5,，,PB,=,8,，,AB,=7,APB,=60 ,AOB,=120,这二面角的度数为,120,解：,A,B,P,l,O,小结一,一.求二面角大小的一般步骤,找(作)二面角的平面角,证明所作角为二面角的平面角,求二面角的平面角,找,证,求,二.依据定义求二面角的平面角,P,l,A,B,O,例2 如图，已知,P,是二面角,-,AB,-,棱上一点，过,P,分别在,、,内引射线,PM,、,PN,，且,MPN,=60,BPM,=,BPN,=45,，求此二面角的度数。,A,B,P,M,N,C,D,O,解,：,在,PB,上取不同于,P,的一点,O,，,在,内过,O,作,OC,AB,交,PM,于,C,，,在,内作,OD,AB,交,PN,于,D,，,连,CD,，可得,COD,是二面角,-,AB,-,的平面角,设,PO,=,a,，,BPM,=,BPN,=45,又,MPN,=,60,CD,=,PC,a,COD,=90,因此，二面角的度数为90,小结二,三.,双垂线法,求二面角的平面角,A,B,l,P,O,A,B,P,C,取,AB,的中点为,E,，连,PE,，,OE,O,为,AC,中点，,ABC,=90,OE,BC,且,OE BC,在Rt,POE,中，,OE,，,PO,所求的二面角,P,-,AB,-,C,的正切值为,例3,如图，Rt,ABC,所在平面外一点,P,在面ABC上的射影是Rt,ABC,斜边,AC,的中点,O,，若,PB,=,AB,=1，,BC,=，求二面角,P,-,AB,-,C,的正切值,。,PEO,为二面角,P,-,AB,-,C,的平面角,在,Rt,PBE,中,，,BE,，,PB,=,1，,PE,OE,AB,，因此,PE,AB,E,解：,E,O,P,l,P,A,B,小结三,四.,三垂线法,求二面角的平面角,A,B,C,O,三角形,ABC,在面,内的射影为,BCO,三角形,ABC,的面积为,S,原,，三角形,BCO,的面积为,S,射,则,射影面积公式,设,为所求二面角的大小，,S,为二面角的一个面内的平面图形的面积，,S,为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图,已知二面角,设它的大小为,l,A,B,C,D,A,1,C,1,D,1,E,B,1,M,例4 如图，设,E,为正方体的边,CC,1,的中点，求平面,AB,1,E,和底面,A,1,B,1,C,1,D,1,所成角的余弦值。,G,AB,1,E,在底面,A,1,B,1,C,1,D,1,上的射影为,A,1,B,1,C,1,，故这两个平面所成二面角的余弦值为,F,小结四,五.,射影法,求二面角的平面角,设,为所求二面角的大小，,S,原,为二面角的一个面内的平面图形的面积，,S,射,为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图（2），设二面角 的大小为,利用向量法求二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。,D,C,l,B,A,则二面角 的大小,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,l,法向量法,如图，向量,例5 如图,PA,平面,ABC,，,求二面角 的大小,P,A,B,C,A,B,C,D,A,1,C,1,D,1,B,1,E,例6 如图，在长方体,AC,1,中,点,E,在棱,AB,上移动,AD,=,AA,1,=1,AB,=2,AE,等于何值时，二面角的大小为,1、如图，,AB,是圆的直径，,PA,垂直于圆所在的平面，,C,是圆上任一点，则二面角,P,-,BC,-,A,的平面角为:,A.,ABP,B.,ACP,C.,都不是,练 习,2、已知,P,为二面角 内一点，且,P,到两个半平面的距离都等于,P,到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,A,B,C,P,60,V,A,B,C,3.空间四边形,VABC,的各边及对角线均相等，求二面角 的大小,4.如图，空间三条直线,PA,、,PB,、,PC,，,APC,=,APB,=60，,BPC,=90，求二面角,B,PA,C,的大小.,B,C,A,P,4.如图，在,ABC,中，,AD,BC,于,D,，,E,是线段,AD,上一点，且,AE,=,ED,，过,E,作,MN,BC,，且,MN,交,AB,于,M,，交,AC,于,N,，以,MN,为棱将,AMN,折成二面角,A,MN,D,，设此二面角为,（0,），连结,AB,、,AD,、,A C,，求,A MN,与,A BC,所夹二面角的大小.,A,B,C,D,E,N,M,A,M,N,E,B,D,C,课堂小结,一.求二面角的平面角的常用方法,二.降维思想将空间角转化为平面角,例1 在三棱锥,A,-,BCD,中，侧面,ABC,底面,BCD,，,AB,BC,BD,1，,CBA,CBD,120,。,，,求二面角,A,-,BD,-,C,的大小。,A,D,C,B,同学们思考以下问题,:,1.由已知条件怎样找垂线?,2.通过垂线怎样找二面角的平面角.,观察总结:图中的红色部分有什么特点?,E,G,分析:利用三垂线定理寻找二面角,的平面角,关键是如何在一个半平,面找一个点,向第二个半平面做垂,线,往往要结合所给的几何体,找,垂直关系。,由于,AB,平面,AD,1,BD,1,在平面,AD,1,上的射影为,AD,1,，过点,P,作,PF,AD,1,于,F,则,PF,平面,ABD,1,过,F,作,FE,BD,1,于,E,，连结,PE,，,PEF,即为二面角,A,_,BD,1,_,P,的平面角。,例2.如图示,正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为1,P,是,AD,的中点.求 二面角,的大小.,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,P,F,E,观察总结:计算在哪个图形中进行的?,练习1：在三棱锥,S,-,ABC,中，,ABC,是边长为4的正三角形，平面,SAC,平面,ABC,SA,SC,M,为,AB,的中点,证明,AC,SB,;求二面角,S,-,CM,-,A,的大小.,分析：证明线线垂直的思路如何？,用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？,S,A,B,C,M,E,F,思考:,1.怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面的垂线?,2.在垂线的基础上怎样找二面角的平面角,?,练习2:三棱锥,P,-,ABC,中，,PA,平面,ABC,，,PA,3，,AC,4，,PB,PC,BC,求二面角,A,-,PC,-B的大小。,P,A,B,C,F,E,用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是：,两作一连,一作垂线,二作射影(斜线),一连斜线(射影),计算,小 结,A,B,C,D,AB=AD，BC=CD,已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角,注意一些全等三角形或相似三角形,内容总结,(习题课)。例1 如图P为二面角l内一点，PA于点A,PB于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。PA,PB。连结AO、BO,则AOB为二面角l的平面角。又PA=5，PB=8，AB=7。D。COD是二面角-AB-的平面角。取AB 的中点为E，连PE，OE。O为 AC 中点，ABC=90。所求的二面角P-AB-C 的正切值为。PEO为二面角P-AB-C 的平面角。OEAB，因此 PEAB。三角形ABC在面内的射影为BCO,三角形ABC的面积为S原，三角形BCO的面积为S射,则。例4 如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为。方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。法向量法。例6 如图，在长方体AC1中,
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