椭圆型方程的有限差分法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章椭圆型方程的有限差分法,1,差分逼近的基本概念,2,一维差分格式,3,矩形网的差分格式,4,三角网的差分格式,5,极值原理,第四章椭圆型方程的有限差分法,1,差分逼近的基本概念,区间的,剖分,1,区间的剖分,1,微分方程离散,(,差分方程）,1,微分方程离散,(,差分方程）,定义,1.1,定义,1.2,定义,1.3,定理,1.1,（相容,+,稳定,=,收敛）,2,一维差分格式,2.1,直接差分化,a,b,图1,2.2,积分插值法,2.3,变分,-,差分法,数值计算中，,我们学习过,Lagrange,插值多项式,公式：,Lagrange,插值多项式,先从最简单的线性插值,(n=1),开始。这时插值问题就是求一次多项式,P,1,(x)=a,0,+a,1,x,使它满足条件,P,1,(x,0,)=y,0, P,1,(x,1,)=y,1,令,P,1,(x)=l,0,(x)y,0,+l,1,(x)y,1,由于,l,0,(x,0,)=1, l,0,(x,1,)=0,l,0,(x,0,)=0, l,1,(x,1,)=1.,这样,l,0,(x),含有因子,x-x,1,令,l,0,(x)=(x-x,1,),再利用,l,0,(x,0,)=1,确定其中的系数，结果得到,x-x,1,l,0,(x)=- ,x,0,-x,1,类似的可得到,x-x,0,l,1,(x)=- ,x,1,-x,0,这样,x-x,1,x-x,0,P,1,(x)=-y,0,+ -y,1,x,0,-x,1,x,1,-x,0,l,0,(x), l,1,(x),称为以,x,0, x,1,为节点的,插值基函数,。,2.4,边值条件的处理,3,矩形网的差分格式,3.1,五点差分格式,(i,j),(I,j-1),(i,j+1),(i+1,j),(i-1,j),A,B,C,D,3.2,边值条件的处理,3.3,极坐标形式的差分格式,3,三角网的差分格式,例子1,2,例子3,3,极值定理,5.2,极值定理,.,差分方程、相容条件、稳定性、,LAX,等,价定理、先验估计、极值定理等概念；,.,构造差分方程方法,(,直接差分化、积分插,值法和变分,-,差分法,),，矩形网和三角网的差分格,式，边界条件的处理。,（,重点,）,.,如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、,对该格式的敛速估计,（,难点,）,主要内容,重点：,LAX,等价定理，构造矩形网和三角网的各种差分格式。,难点：,如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、,对该格式的敛速估计。,重点难点,