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,#,单击此处编辑母版标题样式,会计学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,会计学,1,考研数学,D,考研基础班,定积分,:,二重积分,:,三重积分,:,第1页/共48页,显然,第2页/共48页,（一）,曲线积分的概念与性质,（二）曲线积分的计算方法,（三）格林公式及其应用,主 要 内 容,一、曲线积分的计算法,（四）线积分的应用,第3页/共48页,（一）,曲线积分的概念与性质,（,1,）定义,设,xoy,面上的连续曲线,L,是,分段光滑,的，,且有,有限长度，,函数,z,=,f,(,x,y,),在,L,上,有界，,在曲线,L,上依次,插入分点,及,为,L,的两个端点,),把,L,分成,n,个小弧段,记小弧段,的长度,为,并在,上任取一点,如果,极限,存在，,1.,对弧长的曲线积分的概念及性质,第4页/共48页,存在，,如果,极限,则称,此极限,为,函数,f,(,x,y,),在平面曲线,L,上对弧长的,曲线积分，,记作,即,积分变量,积分弧段,被积表达式,弧长元素,积分和式,曲线形构件的质量,也称第一类曲线积分,.,第5页/共48页,注意：,(1),曲线积分,也是一个,确定的常数，,它只与被积函,数,f,(,x,y,),及积分弧段,L,有关,.,(2),f,(,x,y,),在,闭曲线,L,上对弧长的曲线积分记为,(3),若,L,分段光滑的,则有,(4),存在条件：,当,f,(,x,y,),在,光滑曲线弧,L,上,连续,时，,对弧长的曲线积分,存在,.,第6页/共48页,(5),物理意义：,是,线密度在,L,上的线积分,.,(6),几何意义：,即：高在底,L,上的线积分,.,(7),推广,:,函数,f,(,x,y,z,),在空间曲线弧,上对弧长的曲线积分为,特别地：,联想：,第7页/共48页,（,2,）性质,(4),无向性：,对弧长的曲线积分与曲线的方向无关,.,即,思考,:,定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例,?,否,!,对弧长的曲线积分要求,d,s,0,但定积分中,d,x,可能为负,.,回忆定积分：,故第一类曲线积分与定积分是有区别的,.,第8页/共48页,2.,对坐标的曲线积分的概念及性质,（,1,）,定义,设,L,为,xoy,面上从点,A,到点,B,的一条,分段光滑,的,有,向曲线，,函数,在,L,上,有界,.,沿,L,的方向,依次,取分点,把,L,分成,n,个,有向小弧段,设,并记,为所有,小弧段长度的最大值,.,在,上任意取一点,如果极限,存在，,那么这个,极限,称为,函数,在有向弧段,L,上,对坐标,x,的曲线积分，,记作,第9页/共48页,类似地，,如果极限,存在，,那么,这个,极限,称为函数,在有向弧段,L,上对,坐标,y,记作,的曲线积分，,即,其中,称为,被积函数，,称为,被积表达式，,(1),L,称为,积分路径,.,说明：,(2),与,第一类曲线积分,记号的区别,.,可正可负,.,这里的,第10页/共48页,(3),组合形式,由实例和定义知,:,变力 沿,A B,所作的功为：,(4),特殊路径情况,x,由,若,则,记作,第11页/共48页,（,5,）存在条件：,当,在光滑曲线弧,L,上,连续,时，,第二类曲线积分 存在,.,(6),推广到,空间有向曲线弧,第12页/共48页,（,2,）,对坐标的曲线积分的性质,则,即,对坐标的曲线积分与曲线的,方向,有关,.,回忆定积分：,故定积分是第二类曲线积分的特例,.,第13页/共48页,第14页/共48页,例,1.,设曲线,L,：,过第二象限内的点,M,和第四象限内的点,N,，为,L,上,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,具有一阶连续偏导数）,（,A,）,则下列小于零的是（）,从点,M,到点,N,的一段弧，,B,第15页/共48页,（二）曲线积分的计算方法,基本思路,:,计算定积分,转 化,求曲线积分,1.,计算第一类曲线积分的基本方法,-,三代一定,定 义,计,算,方法,第16页/共48页,对弧长的曲线积分的计算步骤：,化为：,第17页/共48页,例,1.,解,:,o,a,y,x,A,所以,第18页/共48页,解,:,o,x,1,-2,2,y,例,2.,分析,:,若,需要分段计算，较复杂,.,注意到：关于,x,轴对称，被积函数关于,y,是奇函数,.,计算第一类曲线积分的简化方法：,1.,利用第一类曲线积分的几何意义,.,2.,利用第一类曲线积分的对称性,.,3.,利用第一类曲线积分的,积分弧段的方程,化简被积函数,.,第19页/共48页,注：第一类曲线积分的对称性：,L,L,1,O,y,x,L,L,1,O,x,y,L,L,1,O,x,y,第20页/共48页,例,3.,解,:,对于用,一般方程,表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为,参数方程，,这个过程一般是比较困难的，,在特殊情况下可用特殊方法处理,.,要计算函数对弧长的,第21页/共48页,推广,:,设空间曲线弧的,参数方程,为,则,例,4.,解,:,x,y,z,O,第22页/共48页,例,5.,计算,其中,L,为圆周,提示,:,原式,=,说明,:,1.,若用参数方程计算,则,2.,若用参数方程：,第23页/共48页,2.,计算第二类曲线积分的基本方法,-,二代一定,定理,特殊情况：,(1),曲线弧,L,的方程为：,x,自,a,到,b,则,(2),曲线弧,L,的方程为：,y,自,c,到,d,则,(3),推广,则,第24页/共48页,对坐标的曲线积分的计算步骤：,化为：,第25页/共48页,比较,直接法或参数方程法,第26页/共48页,例,6.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1:,化为对,x,的定积分，,则,解法,2:,化为对,y,的定积分，,则,从点,的一段,.,第27页/共48页,例,7.,计算,其中,L,为圆周,沿逆时针方向,.,解一,:,=0.,解二,:,在,L,上,则,于是,0.,0.,这里,故,由格林公式,设,L,围成区域,D,，,第28页/共48页,例,8.,解,:,第29页/共48页,3.,两类曲线积分之间的联系,第30页/共48页,（三）格林公式及其应用,1.,格林公式：,(1),格林公式,是牛顿,莱布尼兹公式的推广，,其中,L,是,D,的,正向边界曲线,（有向性）,.,D,是,有界闭区域,（封,在,D,上有,一阶连续偏导数,（连续性）,.,上的,二重积分,与,区域边界上,的,线积分,的联系,.,注意：,(2),公式的记忆方法：,沟通,了,区域,(3),对复连通区域,D,格林公式右端应包括沿区域,D,的,全,部,边界的曲线积分,且边界的方向对区域,D,来说,都是正向,闭性），,第31页/共48页,(4),如果闭曲线,L,-,是,D,的,正向,边界曲线,L,的,反方向,则有：,格林公式,;,(5),格林公式适用于,平面曲线上的第二类线积分的计算,.,(6),如果,L,不是闭曲线或函数,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),在区域,D,的个别,点上,一阶偏导数不连续，,格林公式不能直接使用，,此时往往需添加辅助线，,然后再作计算,.,第32页/共48页,2.,格林公式的应用：,(2),简化计算曲线积分,(1),利用曲线积分计算平面图形的面积,闭区域,D,的面积,(3),平面上曲线积分与路径无关的等价条件,(4),二元函数的全微分求积,格林公式,;,第33页/共48页,与路径无关的四个等价命题,条件,等,价,命,题,(1),在,G,内,与路径无关，,(2),在,G,内存在,u,(,x,y,),使,(3),在,G,内，,(4),闭曲线,在单连通区域,G,上,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),具有,连续的,一阶偏导数，,则以下四个命题等价,.,说明：,1.,四个等价命题,第34页/共48页,2.,多元函数的原函数：,由此,可以求某个全微分的原函数，,并且,原函数,不唯一,第35页/共48页,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线后用格林公式或直接计算,注意条件,第36页/共48页,例,1.,L,为由点,(,a,0),到,(0,0),的上半圆周,解,:,L,如图，,D,添加辅助线：,第37页/共48页,2.,注意,格林公式,成立的条件,.,说明：,有向性；,连续性；,封闭性,.,格林公式,;,第38页/共48页,例,2.,的,分段光滑,的连续闭曲线，,L,的方向为逆时针方向,.,x,y,o,L,解,:,记,L,所围的闭区域为,D,，,令,由格林公式知，,其中,L,为一无重点且不过原点,第39页/共48页,y,x,o,注意格林公式的条件,:,作位于,D,内圆周,其中,l,的方向取逆时针方向,.,应用格林公式,得,即,有,第40页/共48页,解,:,例,3.,计算,为由点,O,(0,0),到点,A,(1,1),的曲线,其中,L,因为,则,在 平面上成立,.,第41页/共48页,选择如图所示的路径,选择新路径应注意：,（,3,）一般选与坐标轴平行的新路径,（,1,）新路径的起点与终点不变,（,2,）新路径,第42页/共48页,例,4.,验证：,在整个,xoy,平面内，,是某个函,数的全微分，,并求出它的一个原函数,.,解,:,这里,则在整个,xoy,平面内有：,于是,在整个,xoy,平面,(,它是一个单连通区域,),内，,是某个函,数的全微分，,由公式,线积分法,第43页/共48页,例,4.,验证：,在整个,xoy,平面内，,是某个函,另解,:,则所求的函数为：,事实上：,数的全微分，,并求出它的一个原函数,.,偏积分法,观察法,第44页/共48页,（四）线积分的应用,第45页/共48页,第46页/共48页,（,1,）变力 沿曲线 所作的功为：,（,2,）变力 沿曲线 所作的功为：,第47页/共48页,感谢您的观看！,第48页/共48页,
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