流体力学课件第十三章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,流 体 力 学,退 出,中国科学文化出版社,目 录,流体力学基础,第一篇,第二篇,流体动力学基本原理及流体工程,退 出,第三篇,计算流体动力学,第一篇,流体力学基础,绪论,场论与正交曲线坐标,流体静力学,流体运动学,第一章,第二章,第三章,第四章,退 出,返 回,第二篇 流体动力学基本原理及流体工程,流体动力学微分形式基本方程,流体动力学积分形式基本方程,伯努利方程及其应用,量纲分析和相似原理,流动阻力与管道计算,边界层理论,流体绕过物体的流动,气体动力学基础,第五章,第六章,第七章,第八章,第九章,退 出,返 回,第十章,第十一章,第十二章,第三篇 计算,流体动力学,计算流体动力学数学物理基础,流体动力学问题的有限差分解法,流体动力学问题的有限元解法,第十三章,第十四章,第十五章,退 出,返 回,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,流动问题数值求解的基本步骤,流动控制方程,离散方程的建立方法,差分方程特性分析,第一节,第二节,第三节,第四节,退 出,返 回,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第1页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,计算流体力学（,CFD,）是流体力学的一个分支，集数学、计算机科学、工程学和物理学等多门学科知识于一体。它通过计算机模拟建立流动模型，求解流体力学问题，即获得某种流体在特定条件下的有关信息。相对于实验研究，,CFD,计算具有成本低、速度快、资料完备、可以模拟真实或理想条件等优点。随着计算机技术的高速发展，,CFD,正逐渐成为研究各种流体现象和流动过程的有力工具，在工业领域得到了越来越广泛的应用。,本章是全篇的数学与物理基础部分，着重讨论以下四个问题：（,1,）介绍对流动问题进行数值计算的基本思想与步骤；（,2,）讨论流动控制方程的类型及其对数值计算的影响；（,3,）介绍建立有限差分离散方程的方法，重点是控制容积积分法；（,4,）分析离散方程的数学特性（相容性、收敛性与稳定性）及主要的物理特性（守恒性与对流项的迁移性）。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第2页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,描述流动问题的偏微分方程组只在一些简单的情况下才有精确解。对于大多数工程实际问题，只能采用实验研究或近似解法。与分析解不同，数值解法得出的是求解区域中某些代表性点上未知量的近似值。流动问题的数值求解过程大致包括六个步骤。现以房间中的气流流场计算问题为例说明如下。,（一）建立简化物理模型，确定初始条件,(a)(b),图,13.1,两种气流方式,对于图,13.1,所示两种气流方式，若欲采用数值方法计算其流动状况，则从简化计算的角度可作如下假设：（,1,）流动已处于稳定状态；（,2,）温度恒定，气体的物性为常数；（,3,）在垂直于纸面方向上,速度变化可忽略不计（即简化成二维问题）；（,4,）进风口的流速较低，流动是层流。通过这些假设，就把这一实际问题简化成为一个二维、稳态、常物性、无内热源的层流流动问题，这就是所研究问题的物理模型。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第3页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,（二）给出控制方程式及其边界条件,有关控制方程问题将在下一节中详细讨论。边界条件问题在以后章节也会作专门探讨。,（三）流动区域离散化,图,13.2,图,13.1(a),的区域离散,区域离散化必须在所需分析的区域中选定需要计算流体速度的点（称为节点）。区域离散化方法在本小节下面还要单独讨论。对图,13.1(a),所示情形，可以采用的一种节点布置方式如图,13.2,所示，其中沿区域横向有,L,1,个节点，竖向有,M,1,个节点。,（四）建立离散方程,按一定的规则，建立每个节点上未知量与其相邻节点上未知量间的代数关系式（离散方程）。如由气流的,Navier-Stokes,方程和引入的流函数，可得出每一节点与其相邻节点速度间的关系式。这一过程称为控制方程的离散化。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第4页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,建立控制方程并确定初始条件与边界条件,划分子区域、确定节点数（区域离散化）,建立离散方程（方程离散化）,求解代数方程,解收敛？,分析计算结果,修改离散方程系数,线性问题,非线性问题,是,否,（五）求解代数方程组,图,13.3,流动问题数值计算的步骤,因四壁流速为已知，图,13.2,所示的网格系统分别有 个关于速度和 的代数方程需要联立求解。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第5页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,（六）分析计算结果,对所获得的数值结果进行分析、比较与讨论。,上述计算步骤如图,13.3,所示。在这六个步骤中，第一、第二步是流体力学的基本内容，前面章节已讲述，本章中着重讨论第三、四、五个步骤。目前在流体力学的数值计算中广泛应用的数值方法为有限差分法与有限元法。这两种方法的主要区别也就表现在三、四、五这三个步骤上。本章中主要介绍发展比较成熟、比较容易实施的有限差分法。在这一节中先讨论有限差分法中常用的区域离散化方法。,所谓区域离散化是指用一系列与坐标轴平行的曲线簇将计算区域划分成很多个子区域，并从每个子区域中选定节点的过程。每一个节点可以看成是一个相应的微小容积（称为控制容积）的代表。控制容积的边界称为界面。依据节点在子区域中位置的不同，可分为外节点法与内节点法两种。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第6页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,图13.4 两种区域离散方法,(b),(a),节点位于子区域的顶点。如图,13.4(a),所示，用一系列与计算区域边界相平行的直线簇把计算区域分成许多个子区域，将直线簇的交点，即子区域的顶点作为节点。为了确定每一个节点所代表的控制容积，可在相邻节点的中间位置上作界面线（图中用虚线表示），由这些界面线围成各节点的控制容积。这种方法先确定节点位置再确定界面位置，被称为,A,方法。,（一）外节点法,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第7页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,图,13.5,两种区域离散方法的边界节点,（二）内节点法,节点位于子区域的中心。在这种方法中，每个子区域就是一个控制容积，划分子区域的曲线簇就是界面线（图,13.4(b),中用虚线表示），将每个控制容积的中心作为节点。这种方法先定界面位置再定节点位置，被称为,B,方法。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第8页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,两种区域离散化方法的区别在于：,（,1,）在,A,方法中边界节点代表了半个控制容积（图,13.5(a),），而在,B,方法中内节点应看成是控制容积的代表（图,13.5(b),中打阴影线的部分是内节点,P,的控制容积）。因此如果要将节点作为控制容积的代表，则,B,方法较为合理。,（,2,）,A,方法中界面永远位于相邻两节点之间，而,B,方法中节点总是在控制容积的中心。,当求解区域中物体的物性参数发生阶跃式变化时，采用,B,方法可以较容易地把发生阶跃变化的面作为控制容积的界面，便于进行数值计算，而采用,A,方法则要复杂得多。本书中以后所讨论的内容除非特别说明，对两种区域离散化方法均适用。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第9页,第一节,流动问题数值求解的基本步骤,为以后讨论的方便，对网格系统的标记方法作如下约定：控制容积的界面线用虚线，而网格线（即沿坐标轴方向联结相邻节点的曲线簇）则用实线；,x,、,y,方向的节点标号分别用,i,、,j,表示，同时还采用,P,表示所讨论的节点，用,N,、,E,、,W,、,S,表示其相邻的四个节点，节点 的控制容积的四个界面的位置分别用 、及 表示，也可用小写字母,e,、,w,、,n,及,s,来表示，相邻两节点及相邻两界面间的距离分别用 、及 、来表示。按这种标记方法所画成的一维区域如图,13.6,所示。,图,13.6,网格系统标记方法,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第1页,第二节,流动控制方程,本节中讨论控制方程的类型及其对数值解的影响。,由于全部流体力学的问题都是由连续性方程和,Navier-Stokes,（纳维埃斯托克斯）方程所规定着的。因此对于二维、常物性、不可压缩流体的绝热流动，控制方程为：,连续性方程,Navier-Stokes方程,（,13.1,）,（,13.2a,）,（,13.2b,）,式中，、为,x,、,y,方向的速度分量，,p,为压力，、分别为流体的密度和运动粘度。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第2页,第二节,流动控制方程,利用连续性方程，改写式（,13.2,）中的对流项，得：,对于稳态问题，式（,13.3a,）、（,13.3b,）可简化为：,（,13.3a,）,（,13.3b,）,（,13.4a,）,（,13.4b,）,上述方程都是通过对微分容积应用守恒定律而得到的，因而是无限小的容积中物理量守恒的数学描述。若上述控制方程对任意大小的有限容积，例如对数值计算中所采用的最小空间单位控制容积，均能使守恒性得到满足，则被称为守恒型的方程，否则就是非守恒型的方程。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第3页,第二节,流动控制方程,可以证明，在直角坐标系统中，当对流项写成散度形式时，上述控制方程是守恒型的。据此可知，式（,13.4a,）、（,13.4b,）是守恒型的，而（,13.2a,）、（,13.2b,）则为非守恒型的。,讨论控制方程守恒性的目的在于希望据该方程导出的离散方程也具有守恒性。事实上，凡是从守恒型的控制方程导出的离散方程可以保证具有守恒性，而从非守恒型的控制方程导出的差分方程则得不到这种保证。例如，微分方程,（,13.5a,）,亦可写成：,当用时间前差，空间后差的格式进行离散时，式（,13.5a,）的差分方程为：,（,13.5b,）,（,13.6a,）,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第4页,第二节,流动控制方程,式（,13.5b,）成为：,（,13.6b,）,从数学的角度，可以把偏微分方程区分为抛物型、椭圆型与双曲型三种。对不可压缩流体不会出现双曲型方程。式（,13.2,）（,13.3,）均属于抛物型，其特点是方程中含有因变量对时间的一阶导数，它们描述了物理上的非稳态特性。由于在流体力学问题中，只有上一时刻的情况或条件会影响到下一时刻的结果而不会相反，因此在数值求解时，不必将时间坐标上求解范围内各个计算时刻的离散方程都联立求解，而可从已知的（或已求解出的）某一时层上的值出发，根据边界条件，将解一步一步地向前推进。抛物型方程的这一特点可以大大节省所需的计算机内存与计算时间。,式（,13.4a,）及（,13.4b,）属于描述稳态物理问题的椭圆型方程，在物理现象上，这类方程描述了有回流的流动（如图,13.1(a),所示情形中的流动）。,第十三章,计算流体动力学数学物理基础,退 出,返 回,第5页,第二节,流动控制方程,在对这类问题的数值求解过程中，求解区域内各点之值是互相影响的，因而求解区域内各节点的离散方程必须联立求解，而不能先把其中一个小区域的值解出来再去求其它部分之值。例如图,13.2,所示的情形，离散得到的,个关于速度 和 的方程必须联立求解。,采用单向坐标与双向坐标的概念可以形象地说明抛物型与椭圆型方程在物理作用上的区别。如果在一个坐标轴上，影响或扰动仅能向一个方向传递，则称此坐标为单向坐标。这里，“向一个方向传递”指的是：对该坐标轴上任一点而言，该点上因变量之值仅受到该点一侧条件的影响，而该点之值也仅对另一侧上各点之值产生影响，时间就是这样一个单向坐标。,“抛物型”恰好表示了这种物理上的单向作用。相反，在双向坐标轴上，扰动可以朝两个方向传递，即该坐标上任一点因变量之值既会受到