齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,uikhujihuihujihui,*,4.5,齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,1,定理8,设,A,为,s,n,矩阵,则齐次线性方程组,AX,=0有非零解的充要条件为,r,A,n,.,证明,：对,A,进行列分块，,则,AX,=0的向量表示形式为,其有非零解的充要条件是,线性相关,充要条件是,r,A,=,A,的列秩=,2,齐次线性方程组解的性质：,性质1,设,X,1,X,2,为齐次线性方程组,AX,=0的解，,c,为常数，则,(1),X,1,+,X,2,仍为,AX,=0的解；,(2),cX,1,仍为,AX,=0的解.,证明,:(1),A,(,X,1,+,X,2,)=,AX,1,+,AX,2,=0+0=0;,(2),A,(,c,X,1,)=,cAX,1,=,c,0=0;,更一般地，齐次线性方程组,AX,=0解的,任意线性组合仍为解,3,即:若,X,1,X,2,.,X,r,为,AX,=0的解,则,k,1,X,1,+,k,2,X,2,+,.,+,k,r,X,r,也为,AX,=0的解,其中,k,i,(,i,=1,2,.,r,)为任意数.,由上述性质知:齐次线性方程组的解集合关于向量的加法,数乘构成一个线性空间,称为齐次线性方程组的,解空间,(space of solutions).,为了表示齐次线性方程组的所有解，现引入基础解系的概念.,4,定义12,向量组,X,1,X,2,.,X,t,称为,AX,=0的一个,基础解系,(basis set of solutions),(1),X,1,X,2,.,X,t,皆为,AX,=0的解；,(2),X,1,X,2,.,X,t,线性无关；,(3),AX,=0的任意解皆可由,X,1,X,2,.,X,t,线性表出.,若,X,1,X,2,.,X,t,为,AX,=0的一个基础解系，,由基础解系的定义知,如果,5,正好就是,AX,=0的解集合,称,k,1,X,1,+,k,2,X,2,+,.,+,k,t,X,t,为,AX,=0的,通解,.,例1,求下列齐次线性方程组的一个基础解系,解,：对系数矩阵进行初等行变换化为,Jordan阶梯形矩阵.,6,Jordan阶梯形,7,现解,AX,=0的同解齐次线性方程组,BX,=0.Jordan阶梯形,B,有3行不为零，故,r,B,=3，,首元所在的列为,B,的第1,2,3列,故对,x,4,x,5,的任意值代入,BX,=0都能解出,x,1,x,2,x,3,.,把,BX,=0的含,x,4,x,5,的项移到等式右边得到,8,令,x,4,=1,x,5,=0,解得,令,x,4,=0,x,5,=1,解得,相同位置上添加3个分量得到的,于是也,线性无关.,线性无关,而,X,1,X,2,是在,9,设,X,=(,c,1,c,2,c,3,k,1,k,2,),T,则,X,k,1,X,1,k,2,X,2,=(,d,1,d,2,d,3,0 0),T,这就推出,d,1,=,d,2,=,d,3,=0,为,BX,=0的任意解,也是,BX,=0 的解.,于是,X,=,k,1,X,1,+,k,2,X,2,.,10,定理9,设,A,是,s,n,矩阵,r,A,=,r,n,则齐次线性方程组,AX,=0存在基础解系,且基础解系含,n,r,个解向量.,证明,：,A,可经过一系列初等行变换化为,Jordan阶梯形矩阵,B,显然,B,的前,r,行为非,零行,后,s,r,行全为零.不失一般性,可假设,a,ii,=1(,i,=1,2,.,r,),即：,11,未知量,x,r,+1,x,r,+2,.,x,n,(都不在首元所在的,列)称为,自由未知量,.,BX,=0为,AX,=0的同解,方程组.,12,令自由未知变量,代入,BX,=0可解得,从而,13,为,BX,=0的一个解.,14,再令自由未知变量,x,r,+1,.,x,n,的值分别为(0,1,.,0),.,(0,0,.,1),代入,BX,=0可解得,BX,=0的解,X,2,X,3,.,X,n,r,于是得到,15,16,为,AX,=0的一组线性无关的解，要证明它正好为,AX,=0的一个基础解系，只需证明,AX,=0的任意解即,BX,=0的任意解可用,X,1,X,2,.,X,n,r,线性表示.,设,X,=(,c,1,.,c,r,c,r,+1,.,c,n,),T,为,AX,=0,(,BX,=0)的任意解，则,为,BX,=0的解，代入,BX,=0得到,17,这堆出,d,i,=0(,i,=1,2,.,r,),于是,综上，,X,1,X,2,.,X,n,r,为,AX,=0的一个基础解系.,18,说明：,上述定理的证明过程实际上就是求解齐次线性方程组的步骤.,例,解线性方程组,19,解:,20,用基础解系表达的所有解为,自由未知量为,x,3,，,x,4,分别代入值(1,0),(0,1)得到方程组的一个基础解系：,21,推论,设齐次线性方程组,AX,=0的系数矩阵,A,为,s,n,矩阵，若,r,A,=,r,n,则,AX,=0,的每一个基础解系都含有,n,r,个解；,(2),AX,=0的任意,n,r,+1个解向量线性,相关；,(3),AX,=0的任意,n,r,个线性无关的解,都是一个基础解系.,22,证明,：设,X,1,X,2,.,X,n,r,(I)为,AX,=0的一个基础解系.,(1)设 (II)为,AX,=0的任意一个基础解系,则(I)与(II)皆线性无关且可相互线性表出,故,t,=,n,r,;,(2),AX,=0的任意,n,r,+1个解可由含,n,r,个向量的(I)线性表出,故线性相关；,23,设,(III),为,AX,=0,的任意,线性无关的解,为,AX,=0,的任意解,则,线性相关，于是 可,由,(III),线性表出，故,(III),为,AX,=0,的一个,基础解系,.,此外,与,AX,=0一个基础解系等价的任意线性无关向量组也是,AX,=0的基础解系.,(P85.Q2.),24,例3,设,A,为,s,n,矩阵,B,为,n,m,矩阵,AB,=0,则,r,A,+,r,B,n,.,分析,：,n,r,A,是齐次线性方程组,AX,=0的基础解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线性方程组的解的问题来证明.,解,：对,B,和0,s,m,矩阵进行列分块,由,AB,=0，利用分块矩阵的乘法得：,25,于是 为,AX,=0的解.,这就有,若,r,A,=,n,则,AX,=0只有零解,故,B,=0,显然,r,B,=0=,n,r,A,;,若,r,A,=,r,n,则,AX,=0有基础解系,X,1,X,n,r,于是，,可由,X,1,X,n,r,线性表出,则,26,例(P85.Q3),设,A,为,n,(,n,2)阶方阵,证明:,证明,:(1)若,r,A,=,n,，则,A,是一个满秩矩阵，,即|,A,|,0.又,AA,*,=|,A,|,E,，所以,所以,A,*,也为满秩矩阵，即是,27,(2)若,r,A,n,1,则知所有的,n,1阶子式全,部为零，所以,A,的余子式也为零，从而,A,*,=0，也即,(3)若,r,A,=,n,1,则可知|,A,|=0，所以,AA,*,=|,A,|,E,=0,根据前面的例题可知,所以,因为,A,中至少有一个,n,1阶子式不为零.,所以,但,28,