高中数学排列与组合

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,问题一：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,并成一组,问题,2,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,按照一定的顺序排成一列,.,问题,1,排列,组合,有,顺,序,无,顺,序,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义,:,组合定义,:,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,排列定义,:,一般地，从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素，,按照一定的顺序排成一列,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,排列,.,共同点,:,都要“从,n,个不同元素中任取,m,个元素”,不同点,:,排列,与元素的顺序有关，,而组合,则与元素的顺序无关,.,概念讲解,思考一,:,a,b,与,b,a,是相同的排列还是相同的组合,?,为什么,?,思考二,:,两个相同的排列有什么特点,?,两个相同的组合呢,?,）元素相同；,）元素排列顺序相同,.,元素相同,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤,.,思考三,:,组合与排列有联系吗,?,判断下列问题是组合问题还是排列问题,?,(1),设集合,A=,a,b,c,d,e,，则集合,A,的含有,3,个元素的子集有多少个,?,(2),某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票,?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10,名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法,?,组合问题,(4)10,人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,?,组合问题,(5),从,4,个风景点中选出,2,个游览,有多少种不同的方法,?,组合问题,(6),从,4,个风景点中选出,2,个,并确定这,2,个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法,?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列,是选择后再排序的结果,.,1.,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是,:,ab,ac,bc,2.,已知,4,个元素,a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合,.,a,b c d,b,c d,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3,个,),(6,个,),概念理解,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,，用符号 表示,.,如,:,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是,:,如,:,已知,4,个元素,a,、,b,、,c,、,d,写出每次取出两个,元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数,:,注意：,是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.,写出从,a,b,c,d,四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc,，,abd,，,acd,，,bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,练一练,组合,排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac cab,acb bca cba,abd bad dab,adb bda dba,acd cad dac,adc cda dca,bcd cbd dbc,bdc cdb dcb,不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？,你发现了什么,?,如何计算,:,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下,2,步：,第,1,步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第,2,步，求每一个组合中 个元素的全排列数,这里 ，且 ，这个公式叫做,组合数公式,概念讲解,组合数公式,:,从,n,个不同元中取出,m,个元素的排列数,概念讲解,例,1,计算：,例,2.,甲、乙、丙、丁,4,支足球队举行单循环赛，,(1),列出所有各场比赛的双方；,（,2),列出所有冠亚军的可能情况,.,（,2,）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,乙甲,、,丙甲,、,丁甲,、,丙乙,、,丁乙,、,丁丙,(1),甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,(4),求,例,3,例,1,：一位教练的足球队共有,17,名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是,11,人。问：,（,1,）这位教练从这,17,名学员中可以形成多少种学员上场方案？,（,2,）如果在选出,11,名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,卡盟,卡盟,Microsoft Office PowerPoint,，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用,Microsoft Office PowerPoint,不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。,Microsoft Office PowerPoint,做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：,ppt,、,pptx,；或者也可以保存为：,pdf,、图片格式等,例,3.(1),凸五边形有多少条对角线？,(2),凸,n,（,n3,）边形有多少条对角线？,例,2.(1),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的线段共有多少条？,(2),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条？,例,4,：在,100,件产品中有,98,件合格品，,2,件次品。产品检验时,从,100,件产品中任意抽出,3,件。,(1),一共有多少种不同的抽法,?,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(4),抽出的,3,件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：,“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,变式练习,按下列条件，从,12,人中选出,5,人，有多少种不同选法？,（,1,）甲、乙、丙三人必须当选；,（,2,）甲、乙、丙三人不能当选；,（,3,）甲必须当选，乙、丙不能当选；,（,4,）甲、乙、丙三人只有一人当选；,（,5,）甲、乙、丙三人至多,2,人当选；,（,6,）甲、乙、丙三人至少,1,人当选；,例,5,、某医院有内科医生,12,名，外科医生,8,名，现要派,5,人参加支边医疗队，至少要有,1,名内科医生和,1,名外科医生参加，有多少种选法？,例,6,：,（,1,）平面内有,9,个点，其中,4,个点在一条直线上，此外没有,3,个点在一条直线上，过这,9,个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？,（,2,）空间,12,个点，其中,5,个点共面，此外无任何,4,个点共面，这,12,个点可确定多少个不同的平面？,例,7,、有翻译人员,11,名，其中,5,名仅通英语、,4,名仅通法语，还有,2,名英、法语皆通。现欲从中选出,8,名，其中,4,名译英语，另外,4,名译法语，一共可列多少张不同的名单？,例,8,、,8,双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出,4,只，试求满足如下条件各有多少种情况：,（,1,）,4,只鞋子恰有两双；,（,2,）,4,只鞋子没有成双的；,（,3,）,4,只鞋子只有一双。,课堂练习：,2,、从,6,位同学中选出,4,位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为,。,3,、要从,8,名男医生和,7,名女医生中选,5,人组成一个医疗队，如果其中至少有,2,名男医生和至少有,2,名女医生，则不同的选法种数为（）,4,、从,7,人中选出,3,人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）,1,、把,6,个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间,2,人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有,种。,9,9,C,D,5,、在如图,7x4,的方格纸上（每小方格均为正方形）,（,1,）其中有多少个矩形？,（,2,）其中有多少个正方形？,课堂练习：,排列,组合,组合的概念,组合数的概念,组合是选择的,结果，排列是,选择后再排序,的结果,联系,小结,一个口袋内装有大小相同的,7,个白球和,1,个黑球,从口袋内取出,3,个球，共有多少种取法？,从口袋内取出,3,个球，使其中含有,1,个黑球，有多少种取法？,从口袋内取出,3,个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,解：,（,1,）,性质,2,我们可以这样解释：,从口袋内的,8,个球中所取出的,3,个球，可以分为两类：一类,含有,1,个,黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立,我们发现：,为什么呢,性质,2,注,:1,公式特征：下标相同而上标差,1,的两个组合数之和，等于下标比原下标多,1,而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数,2,此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,例计算：,例,2,求证,:,一、等分组与不等分组问题,例,3,、,6,本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；,（,1,）分给甲、乙、丙三人，每人两本；,（,2,）分成三份，每份两本；,（,3,）分成三份，一份,1,本，一份,2,本，一份,3,本；,（,4,）分给甲、乙、丙,3,人，一人,1,本，一人,2,本，一人,3,本；,（,5,）分给甲、乙、丙,3,人，每人至少一本；,（,6,）分给,5,个人，每人至少一本；,（,7,）,6,本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。,练习：,(1),今有,10,件不同奖品,从中选,6,件分成三份,二份各,1,件,另一份,4,件,有多少种分法,?,(2),今有,10,件不同奖品,从中选,6,件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法,?,解,:,(1),(2),例,4,、某城新建的一条道路上有,12,只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）,（,A,）种（,B,）种（,C,）种 （,D,）种,二、不相邻问题插空法,三、混合问题，先“组”后“排”,例,5,对某种产品的,6,件不同的正品和,4,件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第,5,次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前,5,次测试恰有,4,次测到次品，且第,5,次测试是次品。故有：种可能。,练习：,1,、某学习小组有,5,个男生,3,个女生，从中选,3,名男生和,1,名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有,1,人参加，则有不同参赛方法,_,种,.,解：采用先组后排方法,:,2,、,3,名医生和,6,名护士被分配到,3,所学校为学生体检,每校分配,1,名医生和,2,名护士,不同的分配方法共有多少种,?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士,.,四、分类组合,隔板处理,例,6,、从,6,个学校中选出,30,名学生参加数学竞赛,每校至少有,1,人,这样有几种选法,?,分析,:,问题相当于把个,30,相同球放入,6,个不同盒子,(,盒子不能空的,),有几种放法,?,这类问可用“隔板法”处理,.,解,:,采用“隔板法”得,