1.2.1平面上点的极坐标系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,极坐标系,目标在哪？,在以,为,X,轴,以,为,Y,轴，,坐标是,.,算的太慢了！,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置,这种用,方向,和,距离,表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,它直观、方便,一、极坐标系的概念：,在平面内取一个定点,O,，叫做,极点,。,引一条射线,OX,，叫做,极轴,。,再选定一个长度单位和,角度单位,及,它的正方向,（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个,极坐标系,。,X,O,X,O,M,特别强调：,表示线段,OM,的,长度,，即点,M,到极点,O,的距离；,表示从,OX,到,OM,的,角度,，即以,OX,（极轴）为始边，,OM,为终边的角。,二、极坐标的表示方法,:,对于极坐标平面上任意一点,M:,表示线段,OM,的长度，叫做点,M,的,极径,;,有序数对,(,),就叫做点,M,的,极坐标,。,表示以,OX,为始边，射线,OM,为终边的角,叫做点,M,的,极角,;,不做特殊说明时,0,R,当,M,在极点时，极坐标,=0,，,可以取,任意值,。,例：说出下图中各点的极坐标,在同一极坐标系中,有如下极坐标：,1,：这些极坐标之间有何异同？,2,：这些极角有何关系？,3,：这些极坐标所表示的点有什么关系,?,极径相同,，极角不同。,极角的始边相同，终边也相同，即,:,它们是,终边相同的角,。,它们表示同一个点。,探讨：,平面上一点的极坐标是否唯一？,若不唯一，那有多少种表示方法？,坐标不唯一是由谁引起的？,不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,想一想？,三、点的极坐标的统一表达式,:,X,O,M,特别地：,极点,O,的坐标为,一般地：,极坐标 与,表示同一个点,四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,:,1,给定（,）,就可以在,极坐标,平面内确定唯一的一点,M,。,2,给定平面上一点,M,，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,O,X,P,M,(,),一般地,:,若,(,),是一点的极坐标,则,(,+2,k,),(k,Z,),都可以作为它的 极坐标,.,如果,规定,：,那么,:,平面内的点和极坐标就可以,一一对应,了,.,五、极坐标与直角坐标的区别,:,直角坐标,极 坐 标,表示形式,与平面内点的对应关系,一一对应,一一对应,六、,1,、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点,M,（,，,）,负极径时的规定：,1,作射线,OP,，使,XOP=,2,在,OP,的反向延长,线上取一点,M,，使,OM=,O,X,P,M,O,X,P,=/4,M,2,、负极径的实例,在极坐标系中画出点,M,（,3,，,/4,）,的位置,1,作射线,OP,，使,XOP=/4,2,在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,OM=3,3,、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线,OP“,反向延长,”。,O,X,P,M,O,X,P,M,而反向延长也可以看成是旋转,，,因此，所谓“负极径”实质是,管方向,的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。,练习：写出点 的负极径的极坐标,（,6,，,）,答：（,6,，,+,）,或（,6,，,+,）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为,0,。因为负极径只在极少数情况用。,极坐标系下点的极坐标,O,X,P,M,探索点,M,（,3,，,/4,）的,所有极坐标,1,极径是正的时候：,2,极径是负的时候：,在,极坐标系中作下列各点，并思考下面各点的相互位置关系：,思考：,X,O,A,B,D,F,E,C,延展练习,:,在极坐标系中,点,A,的极坐标是,(,规定,:),则,(1),点,A,关于极轴对称的点,的极坐标是,_,(2),点,A,关于极点对称的点,的极坐标是,_,(3),点,A,关于过极点且与极轴垂直的直线,对称,的点的极坐标是,_,3.,在极坐标系中,与,(,),关于极轴对称的点是,(),A.(,)B.(,),C.(,)D.(,),C,D,题组三,2.,在极坐标系中，与点,(,3,),重合的点是,(),A.(3,)B.(,3,),C.(3,)D.(,3,),3.,在极坐标系中,下列表达式表示的图形是什么,=2,=,=,（,R),4.,在极坐标系中,与点,(,8,),关于极点对称的点 的一个坐标是,(),A.(8,)B.(8,),C.(,8,)D.(,8,),A,5:,下列关于极坐标的说法,正确的是,(),.,极坐标分别为 的点在以极点为圆心,以,4,为半径的圆上,.,当 时,极坐标与极坐标内的点一一对应,.,当 时,极坐标与极坐标内的点一一对应,D,D.,C.,B.,A.,.,极坐标为 的点,在与极轴所成的角为 的直线上,3,一点的极坐标有否统一的表达式？,小 结,1,建立一个极坐标系需要哪些要素,极点；极轴；长度单位；,角度单位和它的正方向。,2,极坐标系内一点的极坐标有多少种,表达式？,无数，极角有无数个。,有。（,，,2,k,+,）,1,、极径相等，极角不同的点在以极点为圆心,以极径为半径的圆上,结论,:,在极坐标平面内,2,、极径不相等，但极角相差 整数倍的点在同一条直线上,