特征值特征向量的计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义 1,设,A,为,n,阶方阵，,X,是,n,维向量，如果 存在数,l,，使方程,AX,=,l,X,有非零解，则称,l,为矩阵,A,的特征值，相应的非零解称为,A,的属于,l,的特征向量,方程,AX,=,l,X,AX,-,l,X,=O,(,A,-,l,E,),X,=O,特征值:,使,n,元齐次方程,AX,=,l,X,有非零解的数,l,0,A,的对应于,l,0,的,特征向量,：,即不论,l,取何值，方程,AX,=,l,X,一定有解,43 矩阵的特征值和特征向量,例如：对 ，取,l,=4，代入方程,AX,=,l,X,得,AX,=,4,X,(,A,-4,E,),X,=,O,(,A,-4,E,),X,=,O,有非零解,所以，,l,=4,是矩阵,A,的一个特征值,对 ，取 ，得一个基础解系,则方程,(,A,-4,E,),X,=,O,的全部解为,：,c为任意常数,A,的属于,l,=4,的特征向量：,c0,1、求,n,阶方阵,A,的特征值：,数,l,0,是,A,的特征值,l,0,使方程,AX,=,l,X,有非零解,因此：,l,0,是,A,的特征值,l,0,使 成立,求,A,的特征值步骤：,(1)计算,n,阶行列式,解得方程的根,l,1,，,l,2,，,l,n，,则,l,1,，,l,2,，,l,n,即是,A,的特征值,设,则方程 即 是,的,n,次方程,在复数域上，方程 一定有,n,个根。,A,的特征多项式,方程,A,的特征方程,定义 2,设,A,为,n,阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：,则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数,称为几何重数(度数)。,显然：,解：,令 ，得,l,1,=-1，,l,2,=7,则,A,的特征值为,l,1,=-,1，,l,2,=7,【例1】求 的特征值,2、,求,A,的属于特征值,l,的特征向量,设,l,i,是,A,的特征值，则方程,AX,=,l,i,X,有非零解.,即方程,(,A,-,l,i,E,),X,=,O,有非零解，,方程组,(,A,-,l,i,E,),X,=,O,的全部非零解,A,的对应于特征值,l,i,的特征向量:,2）求出,(,A,-,l,i,E,),X,=,O,的一个基础解系,V,1,、,V,2,、,V,s,步骤：1）把,l,=,l,i,代入方程,(,A,-,l,i,E,),X,=,O,得一齐次线性方程组,(,A,-,l,i,E,),X,=,O,3）,A,的属于特征值,l,i,的特征向量为：,是不全为零任意常数,【例2】求矩阵 的特征值与特征向量,解：,得,l,1,=2，,l,2,=,l,3,=1,（二重根）,则,A,的特征值为,l,1,=2，,l,2,=,l,3,=1,把,l,1,=2,代入方程,(,A,-,l,E,),X,=,O,，得,(,A,-2,E,),X,=O,=,=,+,-,=,+,-,0,0,4,0,3,1,2,1,2,1,x,x,x,x,x,=,=,0,0,2,1,x,x,得一基础解系,于是，A的属于,l,1,=2,的全部特征向量为：,把,l,2,=,l,3,=1,代入方程,(,A,-,l,E,),X,=,O,，得,(,A,-,E,),X,=O,行变换,于是，A的属于,2,=1,的全部特征向量为：,取,1,3,=,x,=,+,=,+,-,0,0,2,3,1,2,1,x,x,x,x,-,=,=,1,3,1,2,2,x,x,x,x,得一基础解系,取,1,1,=,x,解：,得,1,=-2，,2,=,3,=7,（二重根）,则,A,的特征值为,1,=-2，,2,=,3,=7,把,l,1,=-2,代入方程,(,A,-,l,E,),X,=O,，得,(,A,+2,E,),X,=O,【例3】求矩阵 的特征值与特征向量,于是，,A,的属于,l,1,=-2,的全部特征向量为：,=,+,-,=,-,0,2,0,2,3,2,2,1,x,x,x,x,=,=,2,3,2,1,2,2,x,x,x,x,得一基础解系,取,1,2,=,x,把,l,2,=,l,3,=7,代入方程,(,A,-,l,E,),X,=O,，得,(,A,-7,E,),X,=O,令 分别取,，得基础解系,于是，,A,的属于,l,2,=,l,3,=7,的全部特征向量为：,0,2,2,3,2,1,=,+,+,x,x,x,3,1,2,2,2,x,x,x,-,-,=,定理 1,n,阶方阵,A,的,不同特征值对应的特征向量线性,无关。,即 若 是属于特征值,l,1,的特征向量,是属于特征值,l,2,的特征向量,且,l,1,l,2,，,则 与 线性无关,证明：设,l,1,、,l,2,、,l,m,是,A,的,m,个不同的特征值，,a,1,、,a,2,、,a,m,是分别属于,l,1,、,l,2,、,l,m,的特征向量，,即 是方程 的非零解,要证：线性无关,设：,即有 ，且,在(1)式两边左乘,A,，得,(2),在(2)式两边左乘,A,，得,（3）,（1）,（2）,（3）,（m）,做矩阵乘积:,（*）,，即,B,可逆,不同特征值对应的特征向量线性无关,所以：,则：,定理 2,设,l,是,A,的特征值，,a,是,A,的属于,l,的特征向量，则:,(1),k,l,是,kA,的特征值(,k,为任意常数),(2),l,m,是,A,m,的特征值,(,m,为正整数,),(3),当,A,可逆时，,l,0,，,且,l,-1,是,A,-1,的特征值,因为,a,是,A,的属于,l,的特征向量，,即,a,是方程,AX,=,l,X,的非零解，,所以有,A,a,=,la,且,a,0,证（1）：,k,l,是,kA,的特征值,且,a,0,，所以,a,是方程,kAX,=,k,l,X,的非零解,k,l,是,kA,的特征值,因为,(,k,A,),a,要证方程,(,kA,),X,=(,k,),X,有非零解,=,k,(,A,a,),=,k,(,la,),=,(,k,l,),a,先证当,A,可逆时，,l,0,：,反证：若不然，,l,=0,由,A,a,=,la,，得,A,a,=0,因为,A,可逆，两边左乘,A,-1,，得,=0,。,矛盾,证（3）当,A,可逆时，,l,0,，,且,l,-1,是,A,-1,的特征值,再证,l,-1,是,A,-1,的特征值：,因为,A,a,=,la,，,两边左乘,A,-1,，,得,a,=,A,-1,la,=,l,A,-1,a,且,0,l,-1,a,=,A,-1,a,即,a,是方程,A,-1,X,=,l,-1,X,的非零解,故,l,-1,是,A,-1,的特征值,【例4】设四阶方阵,A,满足,求 的一个特征值。,解：,即,A,可逆,由,所以,l,=-3是,A,的一个特征值,且由,再由定理2的（1）可知：,定理 3,矩阵,A,与其转置 矩阵,A,有相同的特征值,证明：,即,A,与,A,有相同的特征多项式,故,A,与,A,有相同的特征值,定理 4,设,l,1,、,l,2,、,l,n,是,A,的,n,个特征值，则,说明,（1）利用本定理结论(1)可检验所求,的特征值是否正确。,（2）由结论(2)可得性质：,n,阶方阵,A,可逆,A,的所有特征值,l,i,0,（1）,l,1,+,l,2,+,l,n,=,a,11,+,a,22,+,+,a,nn,（2）,l,1,l,2,l,n,定义 3,若T为可逆矩阵，对矩阵,A,、,B,，若：,则称,A,与,B,相似。,定理 5,若矩阵,A,、,B,相似，则,A,、,B,具有相同的本征值。,【例6】设A满足 证明其特征值只能取,1或2.,证明：,【例5】设,A,为,n,阶正交矩阵，证明,A,的实特征向量所,对应的特征值的绝对值等于1。,证明：,因为A为正交矩阵，,左边=,右边=,作业：,P121 1，12,