微分方程与差分方程稳定性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分方程,与差分方程稳定性理论,7.7,微分方程稳定性理论简介,一阶方程的平衡点及稳定性,设有微分方程,(1),右端不含字变量,t,，称为自治方程.代数方程,f,(,x,)=0 (2),的实根,x,=,x,0,称为方程(1)的,平衡点,(或奇点).它也是(1)的解(奇解).,如果存在某个邻域，使方程(1)的解,x,(,t,)从这个邻域内的某个,x,(0)出发，满足,(3),则称平衡点,x,0,是,稳定,的(稳定性理论中称渐进稳定);否则，称,x,0,是,不稳定,的(不渐进稳定).,判断平衡点,x,0,是否稳定通常有两种方法.利用定义即(3)式称间接法.不求方程(1)的解,x,(,t,)，因而不利用(3)式的方法称直接法.下面介绍直接法.,将,f,(,x,)在,x,0,点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为,(4),(4)称为(1)的近似线性方程，,x,0,也是方程(4)的平衡点.关于,x,0,点稳定性有如下结论：,若,f,(,x,0,)0,，则,x,0,对于方程,(4),和,(1),都是不稳定的,.,注:,x,0,点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记,f,(,x,0,)=a，则(4)的一般解为,x,(,t,)=,c,e,at,+,x,0,(5),其中常数,c,由初始条件确定，显然，,a,0,q,0，则平衡点稳定;,（12）,若,p,0,或,q,0，则平衡点不稳定.,（13）,微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、,鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，,下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义,（8）式得下,面,关于稳定性的结论。,表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性,对一般的非线性方程,(6),，仍可在平衡点作一次,Taylor,展开，得常系数的近似线性方程来讨论,.,非线性方程,系数矩阵,特征方程系数,（17）,（18）,（19）,结论,：,若方程（1,7,）的特征根不为零或实部不为零，,则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（1,7,）,的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则,（12）、（13）决定。,差分方程模型,对于,k,阶差分方程,F,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,)=0 (,20,),若有,x,n,=,x,(,n,),满足,F,(,n,;,x,(,n,),x,(,n,+1),x,(,n,+,k,)=0,则称,x,n,=,x,(,n,),是差分方程,(,20,的,解,包含k个任意常数的解称为,（20）,的,通解,x,0,x,1,x,k,-1,为已知时称为,（20）,的,初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为,(,20,),的,特解,.,若,x,0,x,1,已知,则形如,x,n,+,k,=,g,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,-1,),的差分方程的解可以在计算机上实现,.,若有常数,a,是差分方程,(,20,),的解,即,F,(,n,;,a,a,a,)=0,则称,a,是差分方程,(,20,),的,平衡点,.,又对差分方程,(,20,),的任意由初始条件确定的解,x,n,=,x,(,n,),都有,x,n,a,(,n,),则称这个平衡点,a,是,稳定,的,.,一阶常系数线性差分方程,x,n,+1,+,ax,n,=,b,(其中,a,b,为常数,且,a,0),的通解为,x,n,=,C,(,-,a,),n,+,b,/(,a,+1),易知,b,/(,a,+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|,a,|1时,b,/(,a,+1)是稳定的平衡点.,对于一阶非线性差分方程,x,n,+1,=,f,(,x,n,),其平衡点,x,*,由代数方程,x,=,f,(,x,),解给出.,为分析平衡点,x,*,的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,时,上述近似线性差分方程与,原,非线性差分方程的,稳定性相同.,因此,当,时,x,*,是稳定的；,当,时,x,*,是不稳定的.,当,二阶常系数线性差分方程,x,n,+2,+,ax,n,+1,+,bx,n,=,r,其中,a,b,r,为常数.,当,r,=0时,它有一特解,x,*,=0；,当,r,0,且,a,+,b,+1 0时,它有一特解,x,*,=,r,/(,a,+,b,+1).,不管是哪种情形,x,*,是其平衡点.设其特征方程,2,+,a,+,b,=0,的两个根分别为,=,1,=,2,.,当,1,2,是两个不同实根时,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,C,1,(,1,),n,+,C,2,(,2,),n,;,当,1,2,=,是两个相同实根时,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+(,C,1,+,C,2,n,),n,;,当,1,2,=,(cos,+,i,sin,)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,n,(,C,1,cos,n,+,C,2,sin,n,).,易知,当且仅当特征方程的任一特征根|,i,|1时,平衡点,x,*,是稳定的.,则,