公式化简最小项表达式

*,第二章 逻辑代数基础,*,第六节 逻辑函数的化简,一、化简的意义和最简的标准：,1.化简的意义（目的）：,节省元器件；提高工作可靠性,2.化简的目标：,最简与或式,或者,最简或与式,逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。,11/27/2024,1,第二章 逻辑代数基础,3.最简的标准：,AB+AC 与或式,=AB AC 与非与非式,两次取反,=A(B+C)或与式,=AB+C 或非或非式,两次取反,与或式使用最多，因此只讨论与或式的最简标准.,(1),含的,与项,最少；门最少,(2),各与项中的,变量数,最少。门的输入端最少,(3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少,11/27/2024,2,第二章 逻辑代数基础,二、公式法,1.相邻项合并法,利用合并相邻项公式:,A B+A B=A,例2：F=A(B C+B C)+A(B C+B C),=A,例1：F=A B+C D+A B+C D,=A+D,=(A B+A B)+(C D+C D),11/27/2024,3,第二章 逻辑代数基础,练习,：用并项法化简下列逻辑函数,11/27/2024,4,第二章 逻辑代数基础,练习：,11/27/2024,5,第二章 逻辑代数基础,2.消项法,=A B,例1：F=A B+A B C+A B D,=A B+A B(C+D),例2：F=A C+C D+A D E+A D G,=A C+C D,利用消项公式,A+AB=A,或,A+AB=A+B,或,A B+A C+B C=A B+A C,11/27/2024,6,第二章 逻辑代数基础,例3：F=A B+A C+B C,=A B+C,=A B+A B C,例4：F=A B+A B+A B C D+A B C D,=A B+A B+C D(A B+A B),=A B+A B+C D,11/27/2024,7,第二章 逻辑代数基础,练习：,11/27/2024,8,第二章 逻辑代数基础,11/27/2024,9,第二章 逻辑代数基础,(3)配项法,利用消项公式,A=A+A,或,1=A+A,或,A B+A C,=,A B+A C+B C,配出多余项，再与其它项合并,例：,解：,11/27/2024,10,第二章 逻辑代数基础,练习：,11/27/2024,11,第二章 逻辑代数基础,练习：,11/27/2024,12,第二章 逻辑代数基础,先找公共因子，再找互补因子,(4)综合法,公式名称,公 式,1.0-1律,A,0=0,A+1=1,2.自等律,A,1=A,A+0=A,3.等幂律,A,A=A,A+A=A,4.互补律,A,A=0,A+A=1,5.交换律,A,B=,B,A,A+B=B+A,6.结合律,A,(BC)=(,A,B)C,A+(B+C)=(A+B)+C,7.分配律,A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C),8.吸收律1,(A+B)(A+B)=A,AB+AB=A,9.吸收律2,A(A+B)=A,A+AB=A,10.吸收律3,A(A+B)=AB,A+AB=A+B,11.多余项定律,(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C),AB+AC+BC=AB+AC,12.求反律,AB=A+B,A+B=A,B,13.否否律,A=A,11/27/2024,13,第二章 逻辑代数基础,例1,解法,1,F=ABC+ABC+AB (吸收律,1 ABC+ABC=AB),=ABC+A（BC+B）（分配律）,=ABC+A（C+B）（吸收律3）,=ABC+AC+AB （分配律）,=（AB+A）C+AB（分配律）,=（B+A）C+AB （吸收律3）,=BC+AC+AB （分配律）,11/27/2024,14,第二章 逻辑代数基础,例1,此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干次，此例ABC项就反复用了三次,F=,ABC,+,ABC,+ABC+,ABC,+,ABC,+ABC（等幂律,）,解法2,=,BC,+,+,（吸收律1）,（,ABC+ABC=BC,，,ABC+ABC=AC,，,ABC+ABC=AB）,AC,AB,11/27/2024,15,第二章 逻辑代数基础,F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH,例2,解:,原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH（吸收律1）,=A+AC+BD+BEG+DEGH(吸收律2),=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3）,11/27/2024,16,第二章 逻辑代数基础,例3,F=AB+BC+BC+AB,此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：,F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C）,（互补律,A+A=1）,=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC,（分配律）,=AB+BC+ABC+ABC+ABC,（吸收律2：,AB+ABC=AB）,=AB+BC+ABC+ABC,（吸收律2：,BC+ABC=BC）,=AB+BC+AC,（吸收律1:ABC+ABC=AC）,11/27/2024,17,第二章 逻辑代数基础,公式化简法,优点：不受变量数目的限制。,缺点：没有固定的步骤可循；,需要熟练运用各种公式和定理；,在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；,有时很难判定化简结果是否最简。,11/27/2024,18,第二章 逻辑代数基础,第五节 逻辑函数的表达式,一、常见表达式,二、标准表达式,1.最小项、最小项表达式,2.最小项的性质,4.由真值表写出最小项表达式的方法,3.由一般表达式写出最小项表达式的方法,11/27/2024,19,第二章 逻辑代数基础,一、常见表达式,F=AB+AC,=AB+AC,=AB AC,=(A+B)(A+C),与或式,与非与非式,与或非式,=AB+A C,11/27/2024,20,第二章 逻辑代数基础,=(A+B)(A+C),或与式,=(A+B)(A+C),=A+B +A+C,或非或非式,二、标准表达式,1.最小项、最小项表达式,(1)最小项的概念及其表示,11/27/2024,21,第二章 逻辑代数基础,例1：已知三变量函数 F(A,B,C)，则 ABC就是一个最小项，通常写成m,5,。,其中，m 表示最小项，5 表示最小项的编号,ABC,(101),2,(5),10,例2：已知四变量函数 F(A,B,C,D)，则 BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？,解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111),2,，即(7),10,。,所以，此最小项的编号为7，通常写成m,7,。,11/27/2024,22,第二章 逻辑代数基础,(2)最小项表达式（标准与或式）,例：F(A,B,C)=A B C+A B C+A B C,11/27/2024,23,第二章 逻辑代数基础,一变量函数，如 F(A)，共有：,2,个最小项,2.最小项的性质,即：A、A,二变量函数，如 F(A,B)，共有：,4,个最小项,三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：,8,个最小项,即：A B、A B、A B、A B,即：A B C、A B C、A B C、A B C,A B C、A B C、A B C、A B C,结论：n变量函数，共有：2,n,个最小（大）项。,11/27/2024,24,第二章 逻辑代数基础,(1)最小项的主要性质,对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。,11/27/2024,25,第二章 逻辑代数基础,A B C,ABC,0 0 0,0,0 0 1,0,0 1 0,0,0 1 1,0,1 0 0,0,1 0 1,1,1 1 0,0,1 1 1,0,能使最小项的值为1的取值组合，称为,与该最小项对应的取值组合,。,例：101 ABC。,若把,与最小项对应的取值组合,看成二进制数，则对应的十进制数就是该最小项的编号i,。,11/27/2024,26,第二章 逻辑代数基础,全部最小项之和恒等于1。,即：,任意两个最小项的乘积恒等于0。,即：,11/27/2024,27,第二章 逻辑代数基础,即：,任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项。,证明：,若自变量的取值组合使m,i,=1(有且只有一组)，,则：,若自变量的取值组合使m,i,=0(其余2,n,-1组)，,则：,所以，等式成立。,11/27/2024,28,第二章 逻辑代数基础,证明：,即上述关系式成立。,11/27/2024,29,第二章 逻辑代数基础,证明：,根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中的原、反变量互换，即得到F。,所以，F 和F中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为(2,n,-1)。,即上述关系式成立。,11/27/2024,30,第二章 逻辑代数基础,例1：若,=A B C+A B C+A B C,则 F(A,B,C)=A B C+A B C+A B C,例2：若,则,解：,11/27/2024,31,第二章 逻辑代数基础,3.由一般表达式写出最小项表达式的方法：,一般表,达 式,与或式,A+A,=1,最小项表达式,例1：,解：F(A,B,C)=AB(,C+C,)=ABC+ABC,11/27/2024,32,第二章 逻辑代数基础,例2：,=AB,=AB,C,+AB,C,解：F(A,B,C)=AB(,A+B,),11/27/2024,33,第二章 逻辑代数基础,练习：,F,=,ABC+BC+AC,=ABC+BC（A+A）+AC（B+B）,=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC,=,m,0,+m,3,+,m,4,+,m,6,+m,7,=,（,0,3,4,6,7）,F,=,ABC+BC+AC,11/27/2024,34,第二章 逻辑代数基础,4.由真值表写出最小项表达式的方法,最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。,例2.5.3 试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数用最小项表达式表示。,11/27/2024,35,第二章 逻辑代数基础,A B,F,0 0,1,0 1,0,1 0,1,1 1,0,解：,最小项表达式：,=m,0,+m,2,F(A,B)=A B+A B,表,11/27/2024,36,第二章 逻辑代数基础,练习：,F,=,ABC+BC+AC,ABC,ABC,BC,AC,F,000,1,001,0,010,0,011,0,100,0,101,0,110,0,111,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,F,=,ABC+BC+AC,=,（,0,3,4,6,7）,11/27/2024,37,第二章 逻辑代数基础,作业题,2.5,2.8(1)(3),2.10(1),2.11(1)(2),11/27/2024,38,第二章 逻辑代数基础,