小学数学基本思想方法与解题策略分析

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,小学数学基本思想方法与解题策略分析,一、植树问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,148名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有,名学生。,2圆形滑冰场的一周全长是150米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装,盏灯。,思想方法,教材：四年级下册“数学广角”,思想方法,植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着,总数,和,间隔数,之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。,思想方法,教材：四年级下册“数学广角”,思想方法,在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形，例如，两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽。,总数=间隔数,总数=间隔数1,总数=间隔数1,解答方法,148名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有,名学生。,解答：4841=13。,2圆形滑冰场的一周全长是150米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装,盏灯。,解答：15015=10。,二、“,抽屉(鸽巢)”,问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,3 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放入到一个袋子里。从中至少取出_个球，可以保证取到三个颜色相同的球。,“,抽屉(鸽巢)”原理,教材：六年级下册“数学广角”,思想方法,“抽屉原理”的两种形式。,最简单的“抽屉原理”：把 m个物体任意分放进n 个空抽屉里（m n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。,“抽屉原理”一般的形式：把多于 kn个物体任意分放进 n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。,解答方法,3 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放入到一个袋子里。从中至少取出_个球，可以保证取到三个颜色相同的球。,解答：至少取出9个球，可以保证取到三个颜色相同的球。在这里“抽屉数”为4，,K1=3，K=2，2K=8，大于2K的整数最小为9。,三、“找次品”问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,4有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称_次保证可以找出这盒较轻的饼干。,思想方法,教材：五年级下册“数学广角”,思想方法,用天平“找次品”的最优策略主要基于以下两点：一是把待测物品分成3份；二是要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。,解答方法,4有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称_次保证可以找出这盒较轻的饼干。,15(5，5，5)5(2，2，1)2(1，1)，称3次。,四、“鸡兔同笼”问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,5在一个盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克，这个盒中有大钢珠_,个，有小钢珠_个。,思想方法,教材：六年级上册“数学广角”,思想方法,“鸡兔同笼”问题教材主要介绍三种方法：列表、假设法和列方程。,“假设法”是一种算术方法，但有其独特的特点，是一个假设计算推理解答的过程。,列方程则是一种代数解法，根据数量关系列出方程并求解即可。,解答方法,大钢珠,20,19,18,17,16,15,14,小钢珠,10,11,12,13,14,15,16,重量,290,286,282,278,274,270,266,解法一：列表法,解法二：(假设法)假设全部是大钢珠，则钢珠的重量为3011=330，这样就多出330,-266=64克，一只大钢珠比一个小钢珠多4克，644=16个小钢珠。大钢珠有14个。,解法三：设大钢珠有个，11x7(30 x)=266，得x=,14。,五、等量替换问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,6如图中有三台天平，通过观察前两台天平可以发现5个“”与3个“”一样重；1个“”与1个“”和2个“”一样重，这样可推知，1个“”和1个“”与,个“”一样重。,图,思想方法,教材：三年级下册“数学广角”,思想方法,等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。等量替换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果ab，bc，那么ac。,解答方法,6由于1个“”与1个“”和2个“”一样重，所以3个“”与3个“”和6个“”一样重。又5个“”与3个“”一样重，即5个“”与3个“”和6个“”一样重，也就是即2个“”与6个“”一样重，1个“”和3个“”一样重，再根据1个“”与1个“”和2个“”一样重，这样可推知，1个“”和1个“”与8个“”一样重。,六、排列组合问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,13六人参加乒乓球比赛，每两人赛一场，分胜负，无平局。最终他们胜的场数分别是,a,，,b,，,b,，,c,，,d,，,d,，且，那么,a,等于,。,19已知一个长方体的长、宽、高分别是10厘米，5厘米，5厘米，用6种不同的颜色来涂这个长方体的6个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有,种不同的涂法。（注：将长方体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）,思想方法,教材：三年级上册“数学广角”,思想方法,分类计数(加法)原理和分步计数(乘法)原理。分类计数原理（也称加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有m,n,种不同的方法。那么完成这件事共有Nm,1,m,2,m,n,种不同的方法。,分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有m,n,种不同的方法。那么完成这件事共有Nm,1,m,2,m,n,种不同的方法。,思想方法,教材：三年级上册“数学广角”,思想方法,排列数：,组合数：,解答方法,13六人参加乒乓球比赛，每两人赛一场，分胜负，无平局。则一共要比赛15场,(即从6取2的组合数),，并且最多胜5场。,若a=3，则b=2，c=1，d=0，若abbcdd=8,15，不合理。若a=4，则b最大为3，c最大为2，d最大为1，那么abbcdd=1415，不合理。因此a=5。,19 24=6543242=90。,七、枚举问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,7在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要,个乒乓球。,15有5种不同价格的礼品分别是2元、5元、8元、11元、14元以及5种不同价格的包装盒1元、3元、5元、7元、9元，一个礼品配一个包装盒，共能配成,套不同价格的礼品。,思想方法,枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立者，即为问题的解。,采用枚举法解题的基本思路：,（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；,（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解,解答方法,7在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要,个乒乓球。,解答：根据条件列出满足条件的各数再求和，即：11131415161920212223=174。,15有5种不同价格的礼品分别是2元、5元、8元、11元、14元以及5种不同价格的包装盒1元、3元、5元、7元、9元，一个礼品配一个包装盒，共能配成,套不同价格的礼品。,方法一：一一列举后去掉重复的。,25-6=19,方法二：解：任意的搭配共有25种，其中有价格重复的情况。由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差数列，故当礼品和包装盒的价格分别差6时，会出现价格重复的情况。共有32=6种，所以不同价格的礼品共有25-6=19种。,八、因数与倍数问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,8在一条3000米长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50米，已挖好了坑。若间隔距离改为60米，则需要重新挖,个坑，有,个原来挖好的坑将废弃不用。,14一个数恰好有12个约数，且比1000大，那么满足条件的最小的自然数是,。,思想方法,求一个数因数的个数：先分解成质因数相乘的形式,因数个数为(n,1,+1)(n,2,+1)(n,k,+1),解答方法,8解答：3000501=61，3000601=51，50与60的最小公倍数是300，30003001=11，5111=40，6111=50。,答:则需要重新挖40个坑，有50个原来挖好的坑将废弃不用。,解答方法,1412=112=26=34=322，显然，这个数能被某个质数的幂(幂的次数最少是2)整除，由于2,2,=4，3,2,=9，5,2,=25，7,2,=49，考察1001，1002，1003，1005，1006，1007，1009，1010，1011均不能被4，9，25，49整除，1004=4251，1008=9112=987=3,2,2,3,7，其约数为342=24个，由于1012=2,2,1123，其约数为322=12个，结果是1012。,九、追及问题,题目(第四届教师解题比赛试题）,11甲、乙两人在400米跑道上练习长跑，甲的速度与乙的速度的比为5:3，若两人同时出发，则乙跑了,圈时，甲比乙多跑了4圈。,思想方法,两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。,追及：速度差追及时间=追及路程,相遇：速度和相遇时间=相遇路程,解答方法,解答：本题的速度比为5:3，则在时间相同时跑的路程的比亦为5:3。设乙跑了x圈时，甲比乙多跑了4圈。,则 X,X=4，得=6。,十、有关几何求积问题,题目,(第四届教师解题比赛试题）,18如右图，,多边形ABCFDE中，,AB=8，BC=12，,ED+DF=13，AE=CF，,则多边形ABCFDE的,面积是,。,题目,(第三届教师解题比赛试题）,如图2：OEF中，OAB，ABC,BCD，CDE，DEF的面积都等于1。那么，阴影CDF的面积为,_,。,十、有关几何求积问题,计算中常用的有关知识：,等底等高的三角形面积相等。,高相等的三角形面积的比等于底边长的比。,策略,转化策略,特殊化策略,解答方法,解答：将图形作满足条件,的特殊化改造。在AE(或AE的,延长线上)、CF(或CF的延长线,上)取AE=CF=3.5，过点E,和F分别作AB和BC平行线，,交于D，则D E与D F,垂直且DEDF=AB CFBCAE=83.5123.5=13，则多边形ABCFDE满足原题的条件。CF=,3.5，DE=4.5，DF=8.5，多边形ABCFDE的面积=8124.58.5=9638.25=57.75，因此多边形ABCFDE的面积是57.75。,小学数学有关基础知识理论选讲,关于除法和有余除法,除法,定义：已知两个数,a、b，要求一个数q，使q与b的积等于a，这种运算叫做除法。,但除数 b不能是0，这是因为，如果b=0，那么：,当,a,0，由于任何数乘0都不可能等于非0数a，所以a0商不存在。,当,a,0，由于任何数乘0都等于0，所以ab商是不确定的。,小学数学有关基础知识理论选讲,关于除法和有余除法,整除的定义,整数a除以非0自然数b，如果存在整数q，能使a=bq，这时叫做b能整除a。,有余数除法,已知整数a和b，要求两个整数q、r，使 q和r满足下列条件：,a=bq+r，并且rb,这样的运算叫做有余数除法，记作,ab=q（余r），或ab=q r。,q叫做不完全商(为简便也简称商)，r叫做余数。,小学数学有关基础知识理论选讲