静止原子激光器的振荡理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第7章 静止原子激光器的振荡理论,固体激光器、半导体激光器以及染料激光器的激活介质粒子是固定不动的，或者其运动速度是可以忽略不计的。,这类激光器是静止原子激光器，其介质主要是均匀加宽。,首先求解二能级原子系综的密度矩阵运动方程，求出非对角元,ab,与,ba,利用式(5.6.5)得到介质的宏观极化强度,(5.6.5),利用激光电磁场方程讨论激光振荡的振幅特性与频率特性。,(6.3.47),7.1 单模振荡,7.1.1 集居数矩阵的运动方程,由大量原子组成的系综，必须根据其激发状态以及工作介质的物理状态，对系综内各种原子的密度矩阵进行统计平均，从而得到集居数矩阵的运动方程。其形式为,(7.1.1),(7.1.2),(7.1.3),(7.1.4),在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（,a,），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-,a,aa,），以及由于受激辐射而使得上能级数目的减少,(7.1.1)表示能级,a,的原子数随时间的变化来源于:,7.1.2 单模振荡的一阶理论,对集居数矩阵的运动方程进行具体的求解。先从其中的第三个方程(7.1.3)入手。,由于气体中原子弹性碰撞或固体中声子,-,原子相互作用可以使,ab,比对角元的衰减得更快，这样非对角元的总衰减率应为,（7.1.3）,（3.1.2）,式中,相,由于毁相碰撞引起的非对角元,ab,的衰减率。,本节讨论静止原于情形，并且假定腔内只有第,n,个纵模产生振荡，即式（7.1.3）中的激光场,E,表示,(7.1.5),式中,E,n,(t)、,n,(t)满足兰姆自洽场方程式。,场与原子相互作用项为,(7.1.6),要解出,ab,，必须知道,aa,和,bb,。求,aa,、,bb,又必须知道,ab,和,ba,。因而无法求出 集居数矩阵元的精确解析解，而只能在某些假设条件下求近似解。,1一级近似,如果,a,(,z,t,0,)、,b,(z，t,0,)是时间的慢变化函数，在,a,-1,和,b,-1,时间内变化不大，将上而式积分可得,对于式(7.1.3),如果不计常数因子，其解为,当,E(z,t),=0时，式(7.1.1)(7.1.2)两式为,(a1),N(z)仅是位置的函数，即反转粒子数不随时间而变。这样，在式(a1）中，可将(,aa,-,bb,)视为与时间无关的常数而移出积分号外，然后将式(7.1.5)的,E,n,(z,t)代入，得到,令,(7.1.7),假设,E,n,(t)、,n,(t),均为时间的慢变化函数，因此,与它们有关的因子也移出积分号外，完成积分得到,由于,0,n,并且,0,和,n,均显著大于,，,因此上式括号中的第二项与第一项相比可以忽略。略去高频反共振项在电磁共振中称为旋转波近似。于是上式写成,将上两式代入,(7.1.10),一级近似,由于,ba,=,ab,*，所以,得到宏观电极化强度,（5.6.5）,(7.1.11),根据(6.3.40)式，可得,P,(1),(,z,t,)的空间傅里叶分量为,其中,(7.1.12),(7.1.13),激活介质的平均反转原子数,0,0,0,0,0,0,将式（7.1.12）与式（6.3.44）比较，得到,(7.1.14),(7.1.15),在反转原子数不变的近似下，宏观电极化强度是电场强度的线性函数。,下面讨论模的振幅特性和频率特性。将式(7.1.15)代入兰姆自洽场方程式(6.3.47)，得到,(7.1.16),这是模的振幅所满足的方程,第一项表示在介质内平均反转原子数 情况下腔内介质的极化导致振幅的增长。,第二项表示由腔内存在的各种损耗机制导致的振幅的衰减。因为光强正比于振幅的平方，所以从式(7.1.16)可知光强的时间增益系数为,0,0,(a1),可见静止原于的增益系数具有洛仑兹线型，线宽为,n,=2,，这个结论与经典理论是一致的。G,t,(,n,)与单位长度的增益系数g(,n,)有如下关系,式中c一光速,从式,(7.1.16),看出，如果要求激光振荡的振幅随时间增加，而不因腔的损耗按指数衰减，则必须有,(7.1.17),0,激光振荡的阈值条件由上式所决定上式表明，要实现激光运转，激活介质所获得的增益至少应等于各种损耗机制所导致的损耗。当振荡被调谐到谱线中心频率时(,n,=,0,)，对该模，阈值反转原子数 由下式给出,或,(a2),可见，谐振腔的Q值越高，介质的能级寿命越长（即,越小)，偶极跃迁几率越大，则阈值反转越小，越容易实现激光振荡。,从式(7.1.16)还可以着出，当反转原子数超过阈值反转数时，模的振幅按指数增大起来，而且在此近似下，这种增大是无限制的。（？）,一级近似中，,作了反转原子数不变的假设,因而不能说明饱和效应。所以只能预言激光器的阈值行为，而不能预言激光器在阈值以上是如何自行调整到稳态运转的。,模的频率特性,如果考虑阈值运转情况，就可以在式(7.1.17)中取等号，解出 代入上式得到,并略去,(7.1.18),(7.1.19),(6.3.47),(7.1.14),激光振荡频率,n,均与腔的共振频率,n,不一致。当介质工作谱线的中心频率,0,比振荡频率高(,n,n,；如果,n,0,，则必有,n,n,。这说明实际的振荡频率相对于腔的共振频率,n,而言，总是向中心频率靠近，这正是经典理论所讨论的频率牵引效应。,(7.1.19),7.1.3 单模振荡的三阶近似理论,1、二阶近似,(7.1.1),前面我们从(,aa,-,bb,)与时间无关的条件下，得到非对角元素的一级近似解,ab,(1),和,ba,(1),讨论了模的振幅特性和频率特性。,为了研究阈值以上激光器的行为，必须考虑受激辐射对粒子反转数的影响，这就需要求解集居数矩阵方程中的对角元,aa,和,bb,。,从集居数矩阵运动方程(7.1.1）知,略去以2,n,为频率的振荡项和分子中含有,0,-,n,的项，则上式中,(7.1.26),于是,(7.1.20),0,0,0,0,0,令,对于,bb,，同样可得到,(7.1.20),(7.1.23),(7.1.26),则激光上、下能级的速率方程,称R为,受激辐射速率参数,它依赖于辐射的强度、两能级间的跃迁几率(正比于D）、两能级间的平均衰减率,以及模频率,n,均到谱线中心频率,0,的距离,0,0,(7.1.27),速率方程(7.1.26,27)是在假设(,aa,-,bb,）不随时间而变的条件下得到的。,只要(,aa,-,bb,)随时间的变化相对于,-1,来说是慢变化的，就可以将(,aa,-,bb,)提到积分号外，这个近似就称为速率方程近似。,这种近似的适用条件是:,由泵浦、驰豫,(,衰减）过程导致粒子数布居的变化同,-1,比是慢变化；,同时要求场的强度不能太强，使得受激辐射过程导致粒子反转数的变化同,-1,比也是一种慢变化。,将式(7.1.26,27）对时间积分，并利用速率方程近似，得到,(7.1.25),(7.1.24),称R,s,为饱和参量,它是系统趋向饱和快慢的量度。,从两式可得：,当电场强度E=0时,aa,-,bb,=,aa,(0),-,bb,(0),，所以(,aa,-,bb,)的零级近似值就是不存在电场时(,aa,-,bb,)的值。,当E,0时，随着E的增大，R增大，粒子反转数(,aa,-,bb,)减少，这就是粒子反转数的饱和现象。,反转数决定激光介质增益，所以E越强时(即光强越强)，增益就越小，这将使光强增大的速率变慢，从而最终总会使得光强趋于一个稳定值。,(7.1.25),(7.1.23),0,R是空间坐标z的周期为,n,/2的周期函数，所以粒子反转数(,aa,-,bb,)也是z的周期函数。,在驻波波腹处，光强最强，R最大，粒子反转数下降得最多；,在驻波波节处，光强为零，粒子反转数基本上没有什么变化。于是粒子反转数相对于z的变化曲线将出现周期性地凹陷，这种现象称为空间烧孔效应，相邻两孔之间距离为1/2波长，如图,0,2.三阶近似,计算积分时仍采用速率方程近似。同求解,ab,(1),时的过程一样，得到,（7.1.3）,(7.1.25),(d1),(7.1.10),0,假设,R,/,R,s,0,时，,E,n,指数增加，随着,E,n,的增加，,n,I,n,增大，使得,E,n,增长率下降，这就是饱和效应。,最后在,n,=,n,I,n,时，,E,n,=0,达到稳定振荡。,将上式两边同乘以,E,n,D,2,/,a,b,，可以得到如下形式,(7.1.34),利用初始条件,I,n,(0)=,I,0,定出常数，最后得到,上式为无量纲光强随时间的变化规律。最初，对于小的I,0,，有,n,I,0,n,，,从上式可见，近似有,即在器件开始运转的时刻，腔内光强按指数规律增长。随着时间的推移，,n,I,0,项逐渐增大，使,I,n,(t)的增长速率减慢，最后光强趋向一个稳定值,(7.1.39),(7.1.38),时间,t,是以,n,为单位表示的,四条曲线自下而上分别对应于,n,/,n,=0.25,，,0.50,，,0.75,和,1.0,式中 谱线中心的阈值反转数。,称为相对激发度。由上式可知，,I,n,是失谐量(,0,-,n,)的函数。,将,n,与,n,的表达式代入式,(7.1.39),，可以得到稳态光强的明显表达式,(d8),0,0,相对激发度自下而上分别取1.05、1.10、1.15和1.20。由图可见，稳态光强在谱线中心处形成高峰，这是因为现在讨论的是静止原子，不可能出现Lamb凹陷的情况。,图中所用参数,=2,100MHz，,=2,55.55MHz。,如果用式,(d4),表示的 代替式,(,a1,),中的 ，就可得到三级近似情况下光强的时间增益系数,在弱饱和下，上式右端中括号中第二项远比,1,小，可作,1-,x,1/(1+,x,),近似，这样就得到,(a3),0,0,中心频率处的小信号增益为,(a3),其中,饱和光强,(a5),(a4),(a3)可表示为,(a6),在稳态时，光强的时间增益系数应等于它的时间损耗系数，即稳态时，应有,(a6),将式,(a3),代入，就可得到稳态时光强,式,(a2),在,n,=,0,时，上式可简化成,(a7),(a8),当腔内光强增加时，-,n,I,n,项起作用，结果使频率牵引减少，所以,-,n,I,n,为频率推斥项。推斥的原因是，由于饱和效应，使反转粒子数下降，而由一级近似计算,n,时用的是未饱和的反转数 ，将牵引量估算多了，,-,n,I,n,正是对此作出的修正。,将,n,和,n,的表达式代入式,(7.1.37),中，,模的频率特性,线性模牵引系数,模推斥系数,(7.1.37),在稳态下,将,得到,(d9),其中,(d10),稳定因子。表示模的频率移动(相对于无源腔频率)相对于失谐量(,0,-,n,)所占的比例数。,(7.1.38),可得,无源腔模的线宽,原子谱线的均匀线宽,0,0,0,0,典型的,S,值大约在,0.010.1,范围，说明频率牵引量只是失谐量,0,-,n,的一个很小的分数。由于,S0,，可是由于第二个模的振荡使,1,=,1,-,2,12,/,2,减小，致使,1,1，属于强耦合；若C1， 为弱耦合；当C=1时为中间耦合。,弱耦合模的特性与强耦合模的特性完全不同。,如果两个模只有弱耦合，它们之间虽有影响，但都能振荡。,如果两模之间为强耦合情况就完全不同，这时一个模的振荡强度的增加，会使另一个模的振荡强度减弱，甚至不能振荡，这就是模间竞争效应。,所谓稳定性是指在稳态情况下，光强有一点扰动后，是否还能恢复到原来的稳态，这相当于力学中的平衡态的稳定性问题。,下面采用扰动分析法来讨论解的稳定性,为此我们考虑在稳态解附近有强度的微小起伏，即令,如果I,1,、 I,2,是稳定解，则当t 时，应有,1, 0 ,2,0 ，否则就不是稳定的,代入(7.2.26)、(7.2.27),略去数量级为,2,的项,讨论第二组稳态解得稳定性。将I,1,(s),=0，I,2,(s),= ,2,/ ,2,，代入上式得,(b1),由上式可见：若,1,0,时，当,t,时，,2, 0,恒能满足。,所以在,1,0,时，解I,1,(s),=0， I,2,(s),=,2,/ ,2,是稳定的。,由上式可知，若,1,0 ，但,1,0， 则模1可以抵制模2的竞争，并建立起振荡，此时,1,将不随时间的推移而趋于零。,在这种情况下，I,1,(s),=0， I,2,(s),= ,2,/ ,2,就是不稳定解,讨论第四组稳态解的稳定性。将(7.2.30-31)代入(b1),写成矩阵形式:,式中,为稳定矩阵,（b2）,做线性变换使矩阵H对角化，使(b2)变为,有,如果,1,0 ,2,B,2,得,这就是稳定性的判据,(7.2.33),2、 C1， ,1,0, ,2,0， 不满足 ，即有稳态解，但不稳定，要产生强烈的竞争，结果必定出现模抑制。强耦合,用条件,来判断第四组稳态解的稳定性,(7.2.30),I,1,(s),和I,2,(s),有,正解,只有两种可能:,1、 C0 ，,2,0 ，因此两个模都可能建立稳定振荡。弱耦合,C=1时,12,21,=,1,2,，方程(7.2.28)和(7.2.29)表示在以I,1,、 I,2,为坐标轴的平面上是互相平行的两条直线。在这些线上任意点所表示的强度组合都是稳定的。中性耦合。稳态解为,表7-2 双模方程稳定解的条件,中性耦合,弱耦合,C1强耦合,C=0，无耦合,7.2.3 三模振荡与模式锁定,在三个模式振荡时，振幅方程(7.2.17)和频率方程(7.2.18) 为：,符合条件式(7.2.14)的：当n=1时，只有6项，111、122、133、 221、 232、 331， 其中，除,1232,0外，其他组合位相的,1,均为零。当n=2时，有7项，其中,2123,=,2321,0。 当n=3时，有6项，其中,3212,0。,27项,(7.2.34),(7.2.35),从上式可见,这些非零的组合项并不是无关的,它们可以用一个变量来表示,(7.2.9),因此方程式(7.2.34)和式(7.2.35)的右边第二项可以分成组合位相等于零的项和组合位相不等于零的项。于是得到,(7.2.36）,无量纲光强,(7.2.43),式中,(7.2.37）,(7.2.38）,(7.2.39）,(7.2.40）,(7.2.41）,(7.2.42）,为频率自推斥(n=m)和交叉牵引或推斥系数,由于,11,=,1,，所以上式可以具体地写成,可见，右边第一项,1,是频率为,1,振荡模的线性净增益，第二项是自饱和项，,12,和,13,为互饱和项。最后一项为,1,、,2,、,3,三个模之间的相互作用引起的饱和效应，通常称它为组合调效应。,(7.2.36）,式(7.2.39)每一项的物理含意是：,右边第二项,1,为频率牵引项,第三项由三项组成,11,=,1,为自推斥项，,12,和,13,是由于互饱和效应引起的频率牵引或推斥效应。,第四项为组合调效应引起的频率推斥。,(7.2.39）,组合位相可随时间缓慢地变化，按式(7.2.36) (7.2.41)，各个纵模的振幅和频率达到稳定的数值后还会以频率 波动,(7.2.43),即基本上以相邻纵模差频,(,2,-,1,),和,(,3,-,2,),的差拍频率波动,这样运行的多纵模激光器各纵模间的,频率和位相没有确定的关系,(7.2.44),作为各个纵模的叠加，合成瞬时光强随时间作无规的波动，如图所示。,在这种情况下，接收器测量到的光强(它是在接收器响应时间之内的平均值）为各纵模强度的简单求和(即,非相干叠加,)。,如果纵模数为N，且各纵模强度相等，即,E,n,=,E,0,， 则总强度为,如果采取某种措施，使振荡着的N个纵模互相关联，就是说，设频率等间隔分布，并有固定的相邻纵模位相差，即对所有的,n,都有,各纵模的相干叠加，瞬时光强形成了周期性脉冲序列，如图,脉冲的峰值光强比自由振荡的总强度提高了N倍，即,并且脉冲宽度变窄，因此稳定振荡的多模激光器当各纵模频率成等间隔分布并有固定位相关系时，将形成时域中的等间隔的脉冲序列，输出这种现象称为锁模。,发生锁模的条件可归纳为,(7.2.45),实现锁模条件,将式(7.2.39)(7.2.41)代入式(7.2.44),，,并考虑 到 ， 可得,(7.2.46),式中,A,B=,(7.2.50),于是锁模条件可表示为：,可见实现锁模必须满足条件,(7.2.51),(7.2.52),三模自锁,当将模式,E,2,调谐到谱线中心的频率时，,E,1,和,E,3,模对称分布在中心两侧，因而,E,1,E,3,，,2,-,1,3,-,2,由表7-1可以看出这时,2,=0，,2,=0， ,1,=-,3,，,1,=-,3,，由(7.2.19)和(7.2.42)知：,21,=-,23,。 可以得出,两种自锁状态,对于其中两个模（如,E,1,和,E,2,）的相位,1,和,1,，适当选择初始位相，使得,于是激光场随时间的变化可表示为,上式即表示锁模脉冲，其周期为,(7.2.54),(7.2.55),对于第一种自锁状态，有,这样三个模叠加也能得到周期性脉冲,如图的虚线曲线。,对于第二种自锁状态，有,(7.2.56),后者峰值较前者为低，原因是前者是三个模同位相叠加，而后者并不完全同位相。,三模干涉叠加的 脉冲波形,总的说来，若,E,2,模愈是调谐在靠近谱线的中心频率，多纵模的强度愈大，非线性效应愈强，则愈容易锁模。,利用激活介质自身的非线性达到自锁，最初在He Ne激光器中被观察到，之后又在CO,2,激光器、Ar,+,激光器以及固体激光器中观察到。但这种自锁是不容易的，要锁定许多纵模使之达到实用要求就更不容易。自锁往住不稳定，各种干扰常使自锁条件破坏并使锁定状态瓦解。因此，自锁实用价值不大。,对于要求锁模运转的激光器，通常都是在激光器谐振腔内人为地放置调制元件，进行强迫锁模（又分为主动锁模和被动锁模）,二能级原子系统的薛定谔方程的解,令,a,=,b,=,(5.5.2）,(5.5.4）,(5.5.5）,(5.5.3）,将（5.5.3）两端微分，有,将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有,(5.5.6）,一个二阶常数系数齐次微分方程，它有e,it,这种形式的 解。令,（5.5.4）（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），得到,其解为：,将（5.5.4）（5.5.5）、（5.5.6）代入（5.5.3），有,其解为,(5.5.7）,(5.5.8）,可将C,a,0,(t)与C,bo,(t)的通解表示为：,假定初始时刻原子处于b态,得到,(5.5.9）,A与B的 解为：,(5.5.10）,其中：,(5.5.11）,(5.5.12）,初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，t时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：,(5.5.13）,这就是拉比强信号解的结果,(5.5.13）,跃迁几率的变化将包括在exp(-,t)指数衰减曲线包络内。如图（5-4）,无阻尼的情况,在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子，跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的。如图（5-3）,拉比频率,强信号下的线性函数,线宽,功率加宽,(5.5.15）,(5.5.13）,(5.5.16）,3.7 单模强信号理论,激光器常工作在高强度区（功率加宽和碰撞加宽降低了多普勒效应），是原子均匀加宽可用速率方程近似来分析。,一种更精确的理论由Lax建议，后由stenholm和Lamb及Feld和Feldman所完成。,引入复极化强度,t时刻，位于z并以速度v运动的一个系集,同相分量,正交分量,引入粒子布居差,（3.5.20）,得,集居数矩阵运动方程(3.5.1)(3.5.4)得C,n,(z,v,t)、S,n,(z,v,t)和粒子布居差,微分方程，,假设,S,n,可以表示成位置坐标z的傅里叶级数,(3.7.2),振幅方程,可得,(3.7.2),自洽方程,(3.7.10),I,n,隐含在其中，用数值计算来确定光强,图3.17 对相对激发度的几个不同值,无量纲强度对失谐量的曲线图。,参数如下：,a,=0.6,ab,，,b,=1.4,ab,，,ku,=40,ab,(,极端多普勒极限情况,),。,从图中看出，所有的曲线都呈现了兰姆凹陷。,实线是使用连分式作出的精确计算,虚线给出三级近似理论结果；十字叉给出速率方程近似下(连分式中的一项)的几个值。,我们看到，当相对激发度为,1.1,，且三级近似结果与精确计算数值有显著差别时，速率方程近似与精确值符合得还相当好。,图3.18 在中心调谐时，激光输出强度作为相对激发度的函数图形。,图3.19 在相对激发度很大时，激光输出强度作为相对激发度的函数图象,虚线表示速率方程近似的结果。对于谐振激光器，只在强度I,n,大于10 ( 大于3.5)才与精确结果有明显的偏差；而对失谐激光器，速率方程近似甚至对所考虑的最大强度值也给出了很好的近似。,