立体几何中的翻折

立体几何中的翻折问题,如有一只小虫要从,A,爬到点,M,，所走的最短路径是什么？,图形的展开与翻折问题就是一个由,抽象,到,直观,，由,直观,到,抽象,的过程,.,在历年高考中以图形的展开与折叠作为命题对象时常出现，因此，关注图形的展开与折叠问题是非常必要的,.,把一个,平面图形,按某种要求折起，转化为,空间图形,，进而研究图形在,位置关系和数量关系,上的变化，这就是,翻折问题,.,(1),先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；,(2),将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题,.,求解翻折问题的基本方法：,（,1,）若二面角,-,AC,-,为直二面角，求二面角,-,BC,-,的大小；,（,2,）若二面角,-,AC,-,为,60,，求三棱锥,D,-,ABC,的体积,.,H,又因为,BC,平面,，所以,BC,D,E,，,所以,BC,.,而,D,C,，所以,BC,D,C,，,所以,D,CA,为二面角,-,BC,-,的平面角,.,由于,D,CA,=,45,，,所以二面角,-,BC,-,的大小为,45,.,分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系,.,规律小结：,如图，已知四边形,ABCD,是上、下底边长分别为,2,和,6,，高为 的等腰梯形（如图）,.,将它沿对称轴,OO,1,折成直二面角,(,如图,).,(1),证明：,ACBO,1,；,(2),求二面角,OACO,1,的正弦值,.,(,2,),由,(,1,),知,AC,BO,1,OC,BO,1,知,BO,1,平面,AOC,.,设,OC,O,1,B,=,E,过点,E,作,EF,AC,于,F,连接,O,1,F,则,EF,是,O,1,F,在平面,AOC,内的射影,.,由线面垂直得,AC,O,1,F,，,所以,O,1,FE,是二面角,O,-,AC,-,O,1,的平面角,.,由已知，,OA,=,3,，,OO,1,=,，,O,1,C,=,1,，,所以,O,1,A,=,=,AC,=,，,从而,O,1,F,=.,又,O,1,E,=,OO,1,sin30,=,所以,sin,O,1,FE,=.,