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数理统计,第3章 区间估计,置信区间,正态总体参数的置信区间,大样本置信区间,统计推断的过程,总体,总体均值、比例、方差,样本,样本统计量,例如：样本均值、比例、方差,0,引言,前面，我们讨论了参数点估计,.,它是用样本算得的一个值去估计未知参数,.,但是，点估计值仅仅,是未知参数的一个近似值，它无法给出这个近似值的精度（也可用均方误差来刻画），使用起来把握不大（间接）,.,区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷（可直接给出误差限）,.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数,N,的极大似然估计为,1000,条,.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信,N,的真值位于其中,.,这样对鱼数的估计就有把握多了,.,实际上，,N,的真值可能大于,1000,条，也可能小于,1000,条,.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的,可靠程度,相信它包含真参数值,.,湖中鱼数的真值,这里所说的“,可靠程度,”是用概率来度量的，,称为,置信度,或,置信水平,.,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数，其大小是根据实际需要选定的,.,1、区间估计,2、回顾分位数,3、置信区间,注1：,这里有两个要求,:,注2：,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个,只依赖于样本的界限,(,构造统计量,).,可靠度与精度是一对矛盾，一般是,在保证可靠度的条件下尽可能提高,精度,.,1.,要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率 要尽可能大,.,即要求估计尽量可靠,.,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间长度,尽可能短，或能体现该要求的其它准则,.,4、同等置信区间,N,(0,1),选 的点估计为,求参数 的置信度为 的置信区间,.,例,1,设,X,1,X,n,是取自 的样本，,明确问题,是求什么,参数的置信区间,?,置信水平是多少？,寻找未知参,数的一个良,好估计.,解,寻找一个待估参数和,统计量的函数，要求,其分布为已知,.,有了分布，就可以求出,U,取值于任意区间的概率,.,5、置信区间的求法,从中解得,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,也可简记为,于是所求 的 置信区间为,从例,1,解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下,:,1,）明确问题,是求什么参数的置信区间,?,置信水平,是多少,?,2,）,寻找参数 的一个良好的点估计,T,(,X,1,X,2,X,n,),3）寻找一个待估参数 和估计量,T,的函数,U,(,T,),且其分布为已知,.,4,）对于给定的置信水平,，根据,U,(,T,),的分布，确定常数,a,b,，使得,P,(,a,U,(,T,),b,)=,5）对“,a,S,(,T,),b,”,作等价变形,得到如下形式,:,即,于是 就是 的,100(,),的置信区间,.,需要指出的是,，给定样本，给定置信水平，,置信区间也,不是唯一,的,.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间,.,例如，设,X,1,X,n,是取自 的样本，,求参数 的置信水平为 的置,N,(0,1),信区间,.,由标准正态分布表，对任意,a,、,b,，,我们可以求得,P,(,a,U,b,),.,N,(0,1),例如，由,P,(-1.96,U,1.96)=0.95,我们得到,均值 的置信水平为,的,置信区间为,由,P,(-1.75,U,2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些,.,置信区间为,我们得到,均值 的置信水平为,的,我们总是希望置信区间尽可能短,.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间,.,任意两个数,a,和,b,，只要它们的纵标包含,f,(,u,),下,95%,的面积，就确定一个,95%,的置信区间,.,在概率密度为单峰且对称的情形，当,a,=-,b,时求得的置信区间的长度为最短,.,a,=-,b,即使在概率密度不对称的情形，如,分布,，,F,分布,，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间,.,我们可以得到未知参数的的任何,置信水平小于,1,的,置信区间，并且,置信水平越高，相应的,置信区间,平均长度,越长,.,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限,.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了,.,这时,可将置信上限取为,+,，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫,单侧置信区间,.,6、置信限（,单侧置信区间,）,设灯泡寿命服从正态分布,.,求灯泡寿命均值 的置信水平为,0.95,的单侧置信下限,.,例,2,从一批灯泡中随机抽取,5,只作寿命试验，测得寿命,X,（单位：小时）如下：,1050,，,1100,，,1120,，,1250,，,1280,方差 未知,解 的点估计取为样本均值,对给定的置信水平,，确定分位点,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限是,1065,小时,的置信水平为 的,单侧置信下限,为,即,课堂练习,随机地取炮弹,10,发做试验，得炮口速度的标准差,炮口速度服从正态分布,.,求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,由,解,随机地取炮弹,10,发做试验，得炮口速度的标准差,炮口速度服从正态分布,.,求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,于是得到,的置信水平为 的置信区间,为,这里,可得到,的置信水平为 的置信区间,为,7、枢轴量,上述三步中，关键是第一步，构造枢轴量G,G的分布不能含有,未知参数，譬如标准正态分布N(0，1)、t分布等不含未知参数。,例3：,例4：,
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