数学建模之模型解的分析与检验第三讲

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.6 模型解的分析和检验,需讨论以下类似问题：,1. 这个解说明了什么问题？,2. 是否达到了建模的目的？,3. 模型的适用范围怎样？,格列佛游记中小人国的小人们为,估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了,一个数学模型,4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有,原理性错误、常识性错误？,W= a H,3,W,是人的体重,，H,是人的身高.,a=W/ H,3,=3/0.5=24,检验：,先确定参数a，,新生婴儿身长约,50,厘米，重约,3,千克,代入模型得,得模型为,W=24H,3,这是一个适用于肥胖人群的体重身高模型。,据此可计算得,身高为,1.5,米的儿童体重为,W(1.5)=81(,千克,)；,身高为,2,米的运动员体重为,W(2)=192(,千克,).,检验模型是数学建模工作的重要环节,将一块石头扔进洞中估计洞的深度.,一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间,t,和洞深,h,的关系模型,：,用到假设：,k,为比例系数.,分析检验,1.,检查模型的,量纲是否正确,?,*1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;,*2 阻力产生的加速度也和速度正比.,根据比例系数,k,的定义有,LT,2,=kLT,1,k=T,1,注意到,exp(kt),是无量纲量,，,可验证模型的,量纲正确.,2. 检验模型是否,与物理定律相符,?,若忽略空气阻力（即,k,=0）, 应有,h=0.5gt,2,验证模型是否与此物理定律相符.,能否将,k,=0 代入模型,？,参见讲义,p59.,3.,参数的灵敏度分析,取参数,k,的值为,0.05,(克/秒),可算得,即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米.,又若参数,k,有微小变化，测算值会怎样变化？,令,k,=0.045,参数的相对变化幅度,为,0.0450.05/0.05=10%，,计算得,h,2,=h(4)73.98，,洞深预测值相对,变化幅度,为,？,（73.573.89）/73.51%.,说明模型,对空气阻力比例系数,k,不敏感,即对,洞深预测影响不大,可忽略空气阻力.,4.,进一步,分析,空气,的影响,若完全忽略空气的影响, 有,h,1,=h(4)=0.5gt,2,=0.59.814,2,78.48,(米),，,绝对误差为,78.4873.505,(米),，,？,结果分析,说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响.,模型中用到,隐含假设,：石头撞击地面的声音,能立即听到.,相对误差为,（78.4873.50）/73.507%，,未考虑声音在空气中的传播速度.,传播速度大约为,330,米秒,则石头着地声音,的传播时间大约为,h33073.53300.223（,秒,）,取修正时间为,t= 40.223= 3.777（秒）,可得,h(3.777)65.77(,米,),结论,声速的影响远甚于空气阻力的影响.,通过对模型的分析、检验，发现由于模型假,设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合理.,需重新进行问题的前期分析工作,1.,量纲一致性检验；,2.,假设的合理性检验；,3.,对模型参数的灵敏度分析；,4.,模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等；,5.,参数或变量的临界值；,模型与模型解的分析与检验，通常需要做,以下几类工作：,