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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲面的侧,对坐标的曲面积分的概念与性质,对坐标的曲面积分的计算法,两类曲面积分的联系,12.2,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分的实际背景,内容,观察以下曲面的侧,有,上,侧和,下,侧,有,内,侧和,外,侧,通常光滑曲面都有两侧,.,(,假设曲面是光滑的,),一、预备知识,有两侧的曲面,.,(1),双侧曲面,1.,曲面的分类,有,左,侧和,右,侧,(2),单侧曲面,默比乌斯,(Mobius),带,.,B,和,D,粘在一起形成的环,不越过其边界，可以,这在,双侧曲面,上是不可能的,.,它是由一张长方形纸条,ABCD,扭转一下,将,A,和,C,粘在一起，,行带.,小毛虫在,莫比乌斯带上,爬到任何一点去,.,Mobius(1790-1868)19,世纪德国数学家,默比乌斯,(Mobius),带,.,我们,只考虑,双侧曲面，,不考虑,单侧曲面,.,2.,有向曲面,有向曲面的方向,确定了,曲面的侧,.,设有向曲面,的,单位,法向量为,3.,有向,曲面在坐标面上的有向投影,设有,有向曲面,，,假定,的余弦,上各点处的法向量与,z,轴的夹角,有相同的符号.,在曲面,上取一小块有向曲面,(,上侧,),(,下侧,),在,xOy,坐标面上的,有向投影,为,规定：,记 为,在,xOy,面上的投影,区域的面积,.,(,垂直,),，,(,前侧,),(,后侧,),(,垂直,),同理可定义 在,yOz,坐标面及,zOx,坐标面的,有向投影,.,xOy,面,：,上正下负垂直为零,yOz,面,：,前正后负垂直为零,zOx,面,：,右正左负垂直为零,(,右侧,),(,左侧,),(,垂直,),为,在,yOz,面上的投影,区域的面积,.,为,在,zOx,面上的投影,区域的面积,.,流向曲面一侧的流量,.,流量,引例,为平面,A,指定侧的,单位,法向量,),(,斜柱体体积,),(1),流速为,常向量,有向曲面,为有向,平面,区域,A,求单位时间流过,A,的流体的流量,(,假定密度为,1).,二、对坐标的曲面积分的背景,(,S,为,有向,平面,区域,A,的面积，,(2),设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,流体的密度与速度均不随时间而变化,(,假定密度为,1),的速度场由,不是常向量,为有向曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的流量,是速度场中的一片,有向曲面,分割,近似 求和取极限,分割,近似,求和,取极限,设,为光滑有向曲面，,或,对坐标的曲面积分,，,记作,被积函数,积分曲面,第二类曲面积分,存在且唯一，,向量场,若对,的,任意,分割和局部,任意,取点，,就称此极限为,F,在有向曲面,上的,1.,定义,三、对坐标的曲面积分的概念与性质,在,上有界，,有向投影元素,注,1,：,若,为封闭曲面,记为,注,2,：,特别地,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分,;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分,.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分,;,3,.,物理意义,流向,指定侧的流量,2.,存在条件,在,光滑有向曲面,上,连续，,则第二类曲面积分存在,.,4,.,性质,5.,两类曲面积分的联系,其中,为有向曲面,上任意点,（,x,y,z,）处指定侧的,单位法向量,.,为连续函数，,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,解,例,1,设,的单位法向量,四、对坐标的曲面积分的计算法,思想,:,化为二重积分计算,.,求,xy,型积分,(1),(2),第二类曲面积分,必须注意曲面所取的,注,侧,.,于是,，,上正下负,前正后负,右正左负,垂直为零,上正下负,前正后负,右正左负,垂直为零,解,:,例,2.,当,是,xOy,坐标面的一个区域 时，曲面积分,取上侧时,与二重积分有什么关系？,则,取下侧时,解,投影域,例,3,计算,其中,是球面,在,部分的,外侧,.,取上侧,取下侧,极坐标,注：,不可,用奇偶对称性得,例,4.,计算,边长为,2,a,的正立方体的整个表面的,外侧,.,解,:,取,上侧；,取,下侧,.,其中,是以原点为中心,由于垂直为零，,又,例,5.,计算曲面积分,其中,解法一,:,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z=,2,之间部分的,下侧,.,把,分为前后两部分：,取前侧,取后侧,为计算,因此得第二类曲面积分计算的,三合一投影法,.,例,5,解法二,:,奇偶对称性,轮换对称性,
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