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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.,8,小结,:,解:,特征方程,:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,通解,.,求,特征根,:,反之,若知道一个二阶方程有通解,或有特解,:,则特征方程的根为,:,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程,:,推广,:,将不同根对应的项加在一起得原方程通解,(,系数要区分开,).,7.,9,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式,.,Q,(,x,),为,m,次待定系数多项式,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,即,即,当 是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,例1.,的一个特解,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3.,求解定解问题,解,:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,对非齐次方程,则可设特解,:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,二、,例4.,的一个特解,.,解,:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例5.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程,:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例6.,解:,(1),特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2),特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,:,内容小结,为特征方程的,k,(,0,1,2),重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,0,1),重根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示,:,1.,(,填空,),设,2.,求微分方程,的通解,(,其中,为,实数,).,解,:,特征方程,特征根,:,对应齐次方程通解,:,时,代入原方程得,故原,方程通解为,时,代入原方程得,故原,方程通解为,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解,.,解,:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解,:,原方程通解为,此题若为填空题上述做法是不可取的,!,4.,的通解,.,解,:,对应齐次方程为,通解,:,令,代入非齐次方程后化简得,可求得通解,:,故原方程通解为,(,二阶常系数非齐次方程,),求,|,|,作业,P347 1(1),(5),(6),(10);,2(2),(4);,*,7.,10,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第七章,欧拉方程的算子解法,:,则,计算繁,!,则由,上述计算可知,:,用,归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程,:,+,例1.,解,:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,的通解为,换回原变量,得原方程通解,为,设特解,:,代入确定系数,得,例2.,解,:,将方程化为,(,欧拉方程,),则方程化为,即,特征根,:,设特解,:,代入 解得,A,=1,所求,通解为,例3.,解,:,则方程化为,即,特征根,:,所求,通解为,(04,考研,填空,),的通解,(),
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