周第一次课矩阵的秩和初等矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几何与代数,主讲,:,王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第二章,矩阵,第四节,矩阵的秩,2.4,矩阵的秩,问题,：在求解线性方程组时，,增广矩阵,(A,b),阶梯形矩阵,(A,1,b,1,),A,1,和,(A,1,b,1,),的非零行数与,初等行变换,有关吗？,初等行变换,基本概念,1.,k,阶子式,这样的子式共有,个,.,k,阶子式,m,n,k,行,k,列,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,2.,矩阵,A,的,秩,(rank),记为,r(,A,),或,秩,(,A,),r(,A,)=,r,A,中至少有一个,r,阶子式,D,不为零，,A,的所有更高阶子式,(,若存在,),等于零,.,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,而,3,阶子式全为,0,因此它的秩为,2.,例如,有一个,2,阶子式,2 0,0 1,0,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,命题,2.1,r(A)=,r,当且仅当,A,中存在非零的,r,阶子式，但,A,中所有,r,+1,阶子式（如果存在的话）都等于零,.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,注,:(1),零矩阵的,秩,规定为,0.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,(2),n,阶方阵,A,的秩等于,n,A,是可逆阵,.,(3),矩阵,A,st,的秩满足：,r(A),min,(s,t),如果矩阵的秩等于它的行数，则称是,行满秩,的；类似有,列满秩,的概念,.,可逆矩阵也称为,满秩矩阵,注,:,(4),r(,A,T,)=r(,A,),.,(5),如果,A,的每一个,k,阶子,式,都等于零，则,(6),如果,A,的有一个,k,阶子式不等于零，则,r(,A,),k.,r(,A,),k.,例,1 2 0 5 0,1,2 4 7,4,1 0 1 5,3,1 6,4,1 4,的秩,=?,注,:,对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说,按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事,.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,4,0,8,2,9,0,3,0,1,2,0,0,0,4,7,0 0 0 0 0,例,.,的秩为,.,3,注,:,可以证明,命题,2.2,阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目,.,而任何一个矩阵都可以经过有限次初等,行,变换化为阶梯形矩阵,.,初等,行,变换是否改变,矩阵的秩？,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,二,.,初等变换和矩阵的秩,引理,2.2,若矩阵,A,经过初等行变换变成,B,，则,r(A)r(B).,引理,2.3,若矩阵,A B,，则,B A.,初等行变换,初等行变换,由,引理,2.2,和,引理,2.3,，得,命题,2.3,若矩阵,A B,，,则,r(A)=r(B).,初等行变换,例,1 2 0 5 0,1,2 4 7,4,1 0 1 5,3,1 6,4,1 4,的秩,=?,三,.,矩阵的等价标准形,1.,矩阵的初等列,(column),变换,(1),对换变换,:,c,i,c,j,(2),倍乘变换,:,c,i,k,其中,k,0,(3),倍加变换,:,c,i,+,k,c,j,.,结论,：初等列变换不改变矩阵的秩,.,事实上，若,A B,则,A,T,B,T,，然后利用命题,2.3,及结论,r(A)=r(A,T,),可得,.,初等列变换,初等行变换,2.,矩阵的,初等变换,初等行变换,初等列变换,定义,：若矩阵,A,经过一系列初等变换变成,B,，则称,A,等价于,B,记为,A,B,.,易证,矩阵的等价关系,满足：,(,反身性,),A,A,;,(,对称性,),若,A,B,则,B,A,;,(3)(,传递性,),若,A,B,，,B,C,则,A,C,.,命题,2.4,：若矩阵,A,B,则,r(,A,)=r(,B,),.,假设,r(,A,s n,),=,r,若,A,阶梯形矩阵,B,，,初等行变换,进一步有，,B,初等列变换,E,r,O,O O,(r),:=E,sn,.,简化阶梯形,初等行变换,初等变换,定理,2.3,假设,A,B,都是,s n,矩阵，则,A,B,当且仅当,r(A)=r(B).,等价标准形,对,nn,矩阵的分类,1.,可逆 和 不可逆；,秩为,0,1,2,n-1,2.,秩为,n;,3.,等价于,E,n,;,等价于,E,i,O,O O,(i=01,2,n-1),第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,2.5,初等矩阵,E,r,i,r,j,P,(,i,j,),(1),一次初等变换,1.,单位矩阵,初等矩阵,A,B (r(A)=r(B),A,和,B,之间,有什么联系,?,一,.,初等矩阵与矩阵的乘积,P,(,i,j,)=,第,i,行,1,1,0 1,1 0,1,1,1,1,第,j,行,第,i,列,第,j,列,E,r,i,r,j,P,(,i,j,),(1),E,c,i,c,j,第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,1,P,(,i,(,k,),=,第,i,行,1,k,1,1,第,i,列,E,c,i,k,E,r,i,k,P,(,i,(,k,),(2),第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,P,(,i,j,(,k,),=,第,i,行,1,k,1,1,第,j,行,第,i,列,第,j,列,1,E,c,j,+,k,c,i,E,r,i,+,k,r,j,P,(,i,j,(,k,),(3),c,i,+,k,c,j,P,(,j,i,(,k,),第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,2.,初等矩阵的可逆性,(1),P,(,i,j,),1,=,P,(,i,j,),(2),P,(,i,(,k,),1,=,P,(,i,(,k,1,),(3),P,(,i,j,(,k,),1,=,P,(,i,j,(,k,).,例如,3,阶初等矩阵,P,(1,3(,5,)=,1,0,5,0 1,0,0 0 1,P,(1,3(,5,)=,1,0,5,0 1,0,0 0 1,1,0,5,0 1,0,0 0 1,1,0,5,0 1,0,0 0 1,.,=,1,0 0,0 1,0,0 0 1,第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,3.,矩阵的代数运算与初等变换之间的关系,0 1 0,1 0 0,0 0 1,a b c,x y z,1 2 3,=,x y z,a b c,1 2 3,0 1 0,1 0 0,0 0 1,a,x,1,b,y,2,c,z,3,=,x,a,1,y,b,2,z,c,3,1 0 0,0 1 0,0 0,k,a b c,x y z,1 2 3,=,a,b c,x,y z,k,2,k,3,k,1 0 0,0 1 0,0 0,k,a,x,1,b,y,2,c,z,3,=,a,x,k,b,y,2,k,c,z,3,k,1,k,0,0 1 0,0 0 1,a b c,x y z,1 2 3,=,a,+k,x,b,+k,y,c,+k,z,x y z,1 2 3,1,k,0,0 1 0,0 0 1,a,x,1,b,y,2,c,z,3,.,=,a,a,k+,x,1,b,b,k+,y,2,c,c,k+,z,3,第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,定理,2.4,.,对,m,n,矩阵,A,进行一次初等,行,变换,相当于在,A,的,左,边乘以相应的初等,矩阵,;,对,A,施行一次初等,列,变换相,当于在,A,的,右,边乘以相应的初等矩,阵,.,第二章 矩阵,2.5,初等矩阵,例,假设,=,，,B,=,求矩阵,C,使得,A=BC,.,a b c,d e f,a b+3c c,d e+3f f,课后习题,习题二（,B,）,22(1),23,上交时间：,11,月,2,日（周一）,