排列数、组合数公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第,1,轮）,文科数学,全国,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十章,排列、组合、二项式定理和概率,1,10.3,排列数、组合数公式,考点搜索,排列数、组合数基本公式，阶乘的计算公式,组合数的两个基本性质,高考猜想,以函数、方程、不等式及实际问题为背景，考查排列数、组合数公式的应用,.,2,1.,n,的阶乘,n,!=_.,2.=,n,(,n,-1)(,n,-2)(,n,-,m,+1)=_.,3.=_.,4.,组合数的两个性质是,:_;,_.,5.,规定,0!,_,；,=_.,6.,n,(,n,-1)!=_.,n,(,n,-1)(,n,-2)21,1,1,n,!,3,盘点指南：,n,(,n,-1)(,n,-2)21;,;,;,;,;,1;,1;,n,!.,4,若,n,N,*，且,n,10，则(10-,n,)(11-,n,)(100-,n,)等于(,),解：,积的个数为(100-,n,)-(10-,n,)+1=91.,故选C.,C,5,若,，则,S,的个位数字是(,),A.8,B.5,C.3,D.0,解：,=1，,=2，,=6，,=24，而,，,，,的个位数字均为0，从而,S,的个位数字是3.,C,6,组合数,(,n,r,1，,n,、,r,Z,)恒等于(,),解：,由组合数的变形公式得,.,D,7,1.,计算下列各式的值：,(1);(2).,解：,(1),原式,=.,(2),原式,.,点评：,排列数、组合数公式的化简与运 算，就是公式的顺用、逆用和变用的结合,.,题型,1,排列数、组合数的四则运算,8,计算：,.,解：,据题意，,，所以,.,又,n,N,*，故,n,=6.,所以原式=,=,=,=,.,9,2.,解下列方程：,(1),；,(2).,解：,(1),方程可化为,，,即,，所以,(,x,-3)(,x,-6)=40,，,即,x,2,-9,x,-22=0,，所以,x,=11,或,x,=-2(,舍去,).,经检验，,x,=11,是原方程的解,.,题型,2,解排列数、组合数方程,10,(2)方程可化为,，,即,，所以,，,即,，所以,n,2,-3,n,-4=0.,所以,n,=4或,n,=-1(舍去).,故,n,=4是原方程的解.,点评：,解排列数、组合数方程时，一般先把排列式、组合式化成全排式(阶乘式)，然后约去一些公共因式，得到基本方程，最后求得的解需符合排列式、组合式的意义.,11,某参观团共,18,人，从中选出,2,人担任联络工作，要求选出的,2,人中至少要有一个男人，而其中有,2,个老年男人不能入选，已知符合要求的选法共有,92,种，求该参观团男女成员各多少人？,12,解：,设参观团有女人,n,个，则男人有,18-,n,个，且,0,n,15,，,n,N,*.,由已知,，,所以,n,(16-,n,)+(16-,n,)(15-,n,)=92,，,即,n,2,-,n,-56=0,，,所以,n,=8,或,n,=-7(,舍去,).,故参观团有男人,10,人，女人,8,人,.,13,3.解下列不等式:,(1),;,(2),.,解,：,(1)原不等式可化为,，即,，,得-75,x,9.,又1,x,-26，故3,x,8，,x,N,*.,所以原不等式的解集是3，4，5，6，7，8.,题型,3,解排列数、组合数不等式,14,(2),原不等式可化为,，,即,，,即,，,15,由此解得，,4,x,12(,x,N,*).,所以原不等式的解集是,x,|4,x,12,，,x,N,*,.,点评：,解排列式、组合式型的不等式有两个关键之处：一是先转化为常规的不等式，二是符合公式意义的自然数解,.,16,设集合,，求集合,M,共有多少个子集？,解：,不等式可化为,，,即,，,17,化简得,n,2,-11,n,-120，解得-1,n,12.,因为,n,5，且,n,N,*，,所以,M,=5，6，7，8，9，10，11,，,从而其子集的个数为,=27=128(个).,18,1.,证明下列等式：,(1),；,(2).,题型 证明排列数、组合数恒等式,19,证明：,(1),证法,1,：,20,证法,2,：,从,a,1,，,a,2,，,，,a,n,+1,这,n,+1,个不同元素中任取,m,个元素作排列，共有,个排列,.,其中含有元素,a,1,的排列数为,；不含有元素,a,1,的排列数为,.,由分类计数原理，得,.,21,(2),因为,，,，,所以,.,22,2.化简下列各式：,(1),;,(2),.,解：,(1)因为,，,所以原式,.,题型 化简、求和问题,23,(2),原式,24,3.,规定,，其中,x,R,，,m,是正整数，且,=1,，这是组合数,(,n,、,m,是正整数，且,m,n,),的一种推广,.,(1),求,的值；,(2),组合数的两个性质：,；,是否都能推广到,(,x,R,，,m,是正整数,),的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由,.,25,解：,(1).,(2),性质 不能推广,.,例如取,x,=,时，,有定义，但,无意义,.,性质能推广，其推广形式是,(,x,R,，,m,是正整数,).,26,证明：,当,m,=1,时，,.,当,m,2,时，,故能推广,.,27,1.,公式的应用体现为三种形式，即正向应用、逆向应用和变式应用，其中变式应用是较难掌握的，它要根据实际问题的需要进行变式，如利用组合数性质的变式：,求和,.,2.,对含排列数、组合数的代数式的计算，要注意利用阶乘的性质、组合数性质和提取公因式等手段简化运算过程,.,28,3.,排列数、组合数公式都有两种形式，对含字母的排列数、组合数的运算，一般用阶乘的形式运算较方便,.,4.,对解含排列数、组合数的方程和不等式，应先利用相关公式将方程和不等式化归为常规问题，但必须注意字母的取值范围，防止增根,.,29,