2.1.1椭圆及其标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.1,椭圆及其标准方程,思考三个问题,1,视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？,2,改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？,3,绳长能小于两图钉之间的距离吗？,结论,：,若常数,大于,|F,1,F,2,|,则点,M,的轨迹是（）,若常数,等于,|F,1,F,2,|,，则点,M,的轨迹是（）,若常数,小于,|F,1,F,2,|,，则点,M,的轨迹（）,椭圆,线段,F,1,F,2,不存在,椭圆的定义,：,平面内到,两,个定点,F,1,、,F,2,的距离之,和,等于,常数,（大于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹叫做,椭圆,。,这两个定点叫做椭圆的,焦点,两焦点的距离叫做椭圆的,焦距,故椭圆的两焦点坐标分别为,F,1,(-c,0),和,F,2,(c,0),化简，得,以经过椭圆焦点,F,1,，,F,2,的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的中垂线为,y,轴，建立直角坐标系,xoy,。,设,M,（,x,，,y,）,是椭圆上的任一点，,设椭圆的焦距为,2c,，点,M,与两焦点的距离之和为常数,2a,。,椭圆的方程,移项，得,故由椭圆的定义得,（,a,c,）,2,a,则方程可化为,观察左图，你能从中找出表示,c,、,a,的线段吗？,即,a,2,-c,2,有什么几何意义？,只需将,x,，,y,交换位置即得椭圆的标准方程：,如果以椭圆的焦点所在直线为,y,轴，且,F,1,、,F,2,的坐标分别为（,0,，,-c,）和（,0,，,c,），,a,、,b,的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？,思考？,焦点在,x,轴上的标准方程：,焦点在,y,轴上的标准方程：,如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？,思考？,判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：,哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是,a,2,.,方,程,特,点,（,2,）在椭圆两种标准方程中，总有,ab0,；,（,4,）,a,、,b,、,c,都有特定的意义，,a,椭圆上任意一点,P,到,F,1,、,F,2,距离和的一半；,c,半焦距,.,有关系式 成立。,x,O,F,1,F,2,y,椭圆的标准方程,O,F,1,F,2,y,x,(3),焦点在大分母变量所对应的那个轴上；,（,1,）,方程的左边是两项,平方和,的形式，等号的右边是,1,；,例,1,：,求下列椭圆的焦点和焦距,。,故,:,所以椭圆的焦点为,:,焦距为,2.,解：因为,54,，所以椭圆的焦点在,x,轴上，并且,例,1,：,求下列椭圆的焦点和焦距,。,因为,:168,所以椭圆的焦点在,y,轴上，并且,所以椭圆的焦点为,:,焦距为,:.,解：将方程化成标准方程为：,（,2,）,练习：,判定下列椭圆的焦点在那条轴上,?,并指出焦点坐标。,答：在,X,轴。（,-,3,，,0,）和（,3,，,0,）,答：在,y,轴。（,0,，,-,5,）和（,0,，,5,）,例,2:,已知椭圆的焦点在,x,轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求,:,该椭圆的标准方程,.,解,:,1.,确定焦点在那条轴上。,2.,求出,a,b,的值。,求椭圆的标准方程的关键：,因为椭圆的焦点在,x,轴上,所以它的标准方程为,:,例,3:,已知椭圆的两个焦点（,0,，,-4,）（,0,，,4,）,并且,椭圆,经过点,求,:,该椭圆的标准方程,.,解：焦点在,y,轴上，可设标准方程：,代入得,解得：,标准方程：,2,、已知椭圆的方程为：，请,填空：,a,=,，,b,=,，,c,=,，,焦点坐标为,，焦距等于,.,1,、,a=,5,，,c=,4,的椭圆标准方程是,。,课堂练习,:,10,6,8,16,(-8,0)、(8,0),4,或,3,、若,M,为椭圆 上一点，,F,1,、,F,2,分别为椭圆的左、右焦点，并且,MF,1,=6,则,MF,2,=,.,M,O,x,y,F,1,F,2,M,O,标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上,标准方程,相 同 点,焦点位置的,判断,不 同 点,图 形,焦点坐标,a,、,b,、,c,的关系,焦点在,x,轴上,焦点在,y,轴上,x,y,F,1,F,2,