空间解析几何基础知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合,右手系.,一、空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有,八个卦限,空间两点间距离公式,二、空间两点间的距离,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,| |,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量.,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,一、,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义,向量与一轴,或,空间两轴,的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的,投影定理（1）,证,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4),相等向量在同一轴上投影相等；,关于向量的,投影定理（2）,（可推广到有限多个）,二、向量在坐标轴上的分向量与向量,的坐标,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,按基本单位向量的,坐标分解式,：,在三个坐标轴上的,分向量,：,向量的,坐标,：,向量的,坐标表达式,：,特殊地：,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,非零向量 的,方向角,：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,关于数量积的说明：,一、两向量的数量积,定义,数量积也称为“,点积,”、“,内积,”.,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律,：,（2）分配律,：,（3）若 为数,：,若 、 为数,：,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,数量积的坐标表达式,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“,叉积,”、“,外积,”.,二、两向量的向量积,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）,分配律：,（3）,若 为数：,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如，,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,关于混合积的说明：,(1)向量的混合积是一个数量.,一、曲面方程的概念,曲面方程的定义：,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,播放,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,解,圆锥面方程,或,例6,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点,：,一、空间曲线的一般方程,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,消去变量,z,后得：,曲线关于 的,投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的,特征,：,三、空间曲线在坐标面上的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的,投影曲线,面上的,投影曲线,空间曲线在 面上的,投影曲线,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的,法线向量,法线向量的,特征,：,垂直于平面内的任一向量,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,法向量,已知点,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,点到平面距离公式,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的,方向向量,/,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,直线的一组,方向数,方向向量的余弦称为直线的,方向余弦,.,直线的参数方程,直线,方向向量,直线,上一点,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的,位置关系：,/,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面,称为,二次曲面,相应地平面被称为,一次曲面,讨论二次曲面性状的,截痕法,：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的,区别,：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,（二）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的,中心,都在 轴上.,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,x,y,z,o,（三）双曲面,单叶双曲面,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的,中心,都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双叶双曲面,x,y,o,