联合分布与边缘分布的关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,联合分布函数与边缘分布函数的关系,3.2 边缘分布,由联合分布律求边缘分布函数,由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数,由(,X,Y,)的联合分布律,P,X,x,i,Yy,j,p,ij,，,i,j,1,2,二、,二维离散型随机变量的边缘分布律,1,x,1,x,i,p,i,p,1,p,i,p,j,p,1,p,j,y,j,y,1,X,Y,联合分布律,及,边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘概率密度,同理可得,Y,的边缘概率密度,解,例,5,例6,设(,X,Y,)在区域 上服从,均匀分布,求(,X,Y,)关于,X,和,Y,的边缘概率密度.,例,7,令,【,结论,】,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数,.,【说明】,对于确定的,1,2,1,2,当,不同时,对应了不同的二维正态分布,.,在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数,正好刻画了,X,和,Y,之间关系的密切程度.,即,联合分布,边缘分布,【结论】,在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？,思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,问题,3.3 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布,定义,【说明】,条件分布的本质是条件概率,离散型在,Y,=,y,j,发生的条件下的条件分布律,就是在,Y,=,y,j,发生条件下将,X,每一个可能取值及取值的条件概率列出.,条件分布律满足分布律的充要条件:,类似乘法公式,(,求联合分布律,),类似全概率公式,(,求边缘分布律,),类似逆概公式,(,求条件分布律,),【练习】,已知(,X,Y,)的联合分布律,X,Y,0,1,2,0,1,2,3/28,3/28,9/28,1/14,5/14,1/28,0,0,0,求:,Y,=1时,X,的条件分布律.,例1,把三个球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,每盒可容球数无限.记,X,为落入 1 号盒的球数,Y,为落入 2 号盒的球数，求,(1),在,Y=,0 的条件下，,X,的条件分布律；,(2),在,X=,2 的条件下，,Y,的条件分布律.,例2,一射手进行射击,每次击中目标的概率为,p,(0,p,1),射击到击中目标两次为止.设以,X,表示首次击中目标所进行的射击次数,以,Y,表示总共进行的射击次数.试求,X,和,Y,的联合分布律及条件分布律.,二、连续型随机变量的条件分布,定义,给定,y,对于任意固定的,若对于任意实数,x,极限,存在,则称此极限为,在条件,Y,=,y,下,X,的条件分布函数,记作,【引言】,在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是确定的数.但是,当,Y,是连续型,r,.,v,.时,条件分布不能用 直接定义,因为 ,我们只能讨论,Y,取值在,y,附近的条件下，,X,的条件分布.,连续,连续,同理,当 时,则,【,说明,】,仅是,x,的函数,此时,y,是常数.,类似于乘法公式,(,求联合概率密度,),条件概率密度满足概率密度的充要条件,:,利用条件概率密度可计算,Y,=,y,条件下,与,X,有关的事件的条件概率,:,类似于全概率公式,(,求边缘概率密度,),类似于,Bayes,公式,(,求条件概率密度,),联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,边缘分布,条件分布,联合分布,例3,已知(,X,Y,)服从圆域,x,2,+,y,2,r,2,上的均匀分布,求,r,x,-r,例4,已知 ,求 .,解,同理，,【说明】,二维正态分布的条件分布仍为正态分布.,例5,设,求,y=x,1,1,例6,已知,求,y=x,1,1,