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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第 五,章 概率及概率分布,第一节 概率的根本概念,第二节 二项分布,第三节 正态分布,1,第一节 概率的根本概念,一、概率的定义,概率的寻求方法不同,1,、后验概率的定义,以随机事件,A,在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件,A,概率的估计值。,这种概率是用随机事件,A,出现的频率估计的，故称为后验概率或统计概率。,2,小贴士,事件：试验的每一个可能结果,掷一颗骰子出现的点数为,3,用大写字母,A,，,B,，,C,，,表示,随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件,掷一颗骰子可能出现的点数,3,小贴士,简单事件：不能被分解成其他事件组合的根本领件,抛一枚均匀硬币，“出现正面和“出现反面,必然事件：每次试验一定出现的事件，,掷一颗骰子出现的点数小于7,不可能事件：每次试验一定不出现的事件，,掷一颗骰子出现的点数大于6,4,事件的概率,事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小，记为P(A),当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近,在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，那么事件A发生的概率可以写为,5,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，,随着投掷次数,n,的增大，出现正面和反面的频率,稳定在,1/2,左右,试验的次数,正面,/,试验次数,1.00,0.00,0.25,0.50,0.75,0,25,50,75,100,125,6,2、先验概率的定义,满足俩个条件：,其一，试验的所有可能结果是有限的；,其二，每一种可能结果出现的可能性相等。,假设所有可能结果的总数为N，随机事件A包括M个可能结果，那么事件A的概率为,P=M/N,先验概率是在特定条件下直接计算出来的，是随机事件的真实概率，不是由频率估计出来的。,试验重复次数充分大时，后验概率也接近先验概率,7,二、概率的性质,1.非负性,对任意事件A，有 P(A)0,2.标准性,一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有0 P(A)1,必然事件的概率为1；P()=1；,不可能事件的概率为0。即P()=0,8,三、概率的加法和乘法,1.概率的加法规那么,假设两个事件A与B互斥，那么事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即,P(AB)=P(A)+P(B),事件A1，A2，An两两互斥，那么有,P(A1A2 An),=P(A1)+P(A2)+P(An),9,互斥事件,在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，那么称事件A与事件B是互斥事件,A,B,互斥事件的文氏图,10,互斥事件及其概率,(,例题分析,),【例6.1】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：,A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑,B：恰好有100个家庭拥有电脑,C：特定户张三家拥有电脑,说明以下各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由,(1)A与B (2)A与C (3)B与 C,11,互斥事件及其概率,(,例题分析,),解：,(1),事件,A,与,B,是互斥事件。因为你观察,到恰好有,265,个家庭拥有电脑，就,不可能恰好有,100,个家庭拥有电脑,(2),事件,A,与,C,不是互斥事件。因为张三,也许正是这,265,个家庭之一，因而事,件与有可能同时发生,(3),事件,B,与,C,不是互斥事件。理由同,(2),12,互斥事件概率的加法规那么(例题分析),解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有,6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6,根据互斥事件的加法规那么，得,【,例6.2,】,抛掷一,颗,骰子，并考察其结果。求出其点 数为,1,点或,2,点或,3,点或,4,点或,5,点或,6,点的概率.,13,2.概率的乘法,A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，那么称事件A与B事件独立，或称独立事件,假设两个事件相互独立，那么这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即,P(AB)=P(A)P(B),假设事件A1,A2,An相互独立，那么,P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An),14,独立事件与乘法公式,(,例题分析,),【,例6.8,】,一个旅游经景点的管理员根据以往的经验得知，有,80%,的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率,解：设,A,=,第一个游客照相留念,B,=,第二个游客照相留念,在没有其他信息的情况下，我们可以假定事件,A,和事件,B,是相互立的，所以有,P(A,B,)=P(A),P(B)=0.800.80=0.64,15,独立事件与乘法公式,(,例题分析,),【,例6.9,】,假定我们是从两个同样装有,3,个红球,2,个蓝球的盒子摸球。每个盒子里摸,1,个。求连续两次摸中红球的概率,解：设,A,=,从第一个盒子里摸到红球,B,=,从第二个盒子里摸到红球,依题意有：,P,(,A,),=3/5,；,P,(,B,|,A,)=3/5,P,(,A,B,),=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)=3/53/5=,0.36,16,第三节 正态分布,x,f,(,x,),17,小贴士,由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出,描述连续型随机变量的最重要的概率分布,许多现象都可以由正态分布来描述,可用于近似离散型随机变量的分布,例如：二项分布,经典统计推断的根底,x,f,(,x,),18,一、正态曲线,1,、正态曲线函数,f,(,x,)=,随机变量,X,的频数,=,正态随机变量,X,的均值,=,正态随机变量,X,的方差,=3.1415926;e=2.71828,x=,随机变量的取值,(-,x,),19,小贴士,1.图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处,2.均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族,3.均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭或“扁平程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭,4.当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交,5.正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1,20,和 对,正态曲线的影响,x,f,(,x,),C,A,B,=1/2,1,2,=1,21,2.,正态曲线的特点,第一，曲线在,Z=0,处为最高点。,第二，曲线以,Z=0,处为中心，双侧对称。,第三，曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交。,第四，标准正态分布上的 平均数为,0,，标准差为,1,。,第五，曲线从最高点向左右延伸时，在正负,1,个标准差之内，既向下又向内弯。,22,二、正态分布的面积与纵线,1.,累积正态分布函数,a,b,x,f,(,x,),23,2.,标准正态曲线下面积的求法,标准正态分布的概率密度函数,随机变量具有均值为,0,，标准差为,1,的正态分布,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化,(,标准分数,),为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,24,标准分数的概念：原始数据与其算术平均数之差除以标准差之商，用符号Z表示。,含义：以平均数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的位置，例如，标准分数为1，说明原始数据在平均数以上一个标准差的位置。,标准分的性质：标准分的平均数为零，标准差为1。,25,标准分数,z,分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为,0,，标准差为,1,。,26,标准正态分布,X,m,s,一般正态分布,=1,Z,标准正态分布,27,标准正态分布表的使用,1Z分数，求概率P,2从概率求Z分数,3概率或Z分数，求概率密度函数值,0,Z,x,P,28,累积正态分布函数,标准正态曲线下面积的求法：,利用教材,323,页的附表,1,。,附表,1,的特点：,第一，表内仅列有标准正态曲线下的面积。,第二，表内仅载有从,Z=0,到右边,Z,值之间的面积。,第三，表中间的数值均表示,Z=0,至某个,Z,值之间的面积。,附表,1,中第一列为,Z,值，第二列,Y,值，第三列为,P,值。,29,1Z值求面积,第一，求,Z=0,到某一,Z,值之间的面积,第二，求俩个,Z,值之间的面积,第三，求某一,Z,值以上或以下的面积,30,求考试成绩中特定区间的人数,某年级,200,名学生考试成绩呈正态分布，平均分为,85,分，标准差为,10,分，学生甲的成绩微,70,分，全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？在平均分上下多少分中间包括,85%,的学生,？,31,某次升学考试，学生成绩符合正态分布，,1000,名考生英语平均,60,分，标准差,15,分，试求,7080,分之间有多少人？,90,分以上有多少人？在平均分上下多少分中间包括,90%,的学生,？,32,2面积求Z值,第一，求,Z=0,以上或以下某一面积对应的,Z,值,第二，求与正态曲线上端或下端某一面积相对应的,Z,值,第三，求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的,Z,值,33,3正态曲线的纵线,第一，Z值求纵线高度,第二，面积求纵线高度,34,三、正态分布在测验记分方面的应用,1、将原始分转换为标准分,2、确定录取分数线,例如，某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生200人，平均分66.78分，标准差为9.19分，假设表扬前20名，其最低分应是多少？某生得80分，他在参赛者中排列第几名？,35,3、确定等级评定的人数,例如，某年级智力测验成绩呈正态分布，准备按分数上下将学生分为人数相同的三组，全体学生智力平均分100分，标准差15分，三组学生的分数上下限各是多少？,93.55分 106.45分,36,4,、品质评定数量化,37,38,一、二项试验,一次试验只有两个可能结果，即“成功和“失败,这里“成功是指我们感兴趣的某种特征,一次试验“成功的概率为pP(A)，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的,试验是相互独立的，并可以重复进行n次,在n次试验中，“成功的次数对应一个离散型随机变量X,第二节 二项分布,39,二、二项分布函数,用,n,次方的二项展开式表达在,n,次二项试验中成功事件出现不同次数的概率分布称为二项分布。,设,X,为,n,次重复试验中出现成功的次数，,X,取,x,的概率为,40,二项分布,(,例题分析,),【例6.10】一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中：,(1)没有次品的概率是多少？,(2)恰好有1个次品的概率是多少？,(3)有3个以下次品的概率是多少？,41,从男生占2/5的学校中随机抽取6个男生，问正好抽到4个男生的概率上多少？至多抽到2个男生的概率是多少？,42,三、二项分布图,当,p=q,不管,n,多大，二项分布呈对称形。,当,n,很大时，二项分布接近于正态分布。,当,n,趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。,当,p,不等于,q,，且,n,相当小时，图形呈偏态。,43,0.0,0.2,0.4,0.6,0,1,2,3,4,5,X,P,(,X,),n,=5,p,=0.5,0.2,0.4,0.6,0,1,2,3,4,5,X,P,(,X,),n,=5,p,=0.1,44,四、二项分布的平均数和标准差,1.,平均数,=,E,(,X,)=,np,2.,方差,2,=,D,(,X,)=,npq,45,五、二项分布的应用,【例6.11】10道正误题，问答题者答对几个认为不是猜测因素。,解：猜对与猜错的概率pq0.5。答题者全凭猜测而答对的题数X服从二项分布：,X,=,P(,X,=),P(,X,),X,=,P(,X,=),P(,X,),0,0.00
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