第八节-正弦定理和余弦定理的实际应用课件

,教材研读,考点突破,素养引领,情境命题,栏目索引,第八节 正弦定理和余弦定理的实际应用,第八节 正弦定理和余弦定理的实际应用,1,1.实际问题中的常用角,(1)仰角和俯角,与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平,线,上方,的角叫仰角,目标视线在水平线,下方,的角叫俯角(如图,).,教材研读,1.实际问题中的常用角教材研读,2,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45,等.,(3)方位角,从,正北,方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点,B,的方位,角为,(如图).,(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.,(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东,3,2.解关于解三角形的应用题的一般步骤,(1)准确理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的,关系;,(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;,(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;,(4)将所得结论还原到实际问题中,注意实际问题中有关单位、近似计算等的,要求.,2.解关于解三角形的应用题的一般步骤,4,1.,判断正误(正确的打“”,错误的打“,”).,(1)东北方向就是北偏东45,的方向.,(,),(2)从,A,处望,B,处的仰角为,从,B,处望,A,处的俯角为,则,的关系为,+,=180,.,(,),(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为,.(,),(4)方位角与方向角的实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关,系.,(,),(5)方位角的大小范围是0,2),方向角的大小范围一般是,.,(,),1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).,5,2.,如图所示,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,的距离都等于,a,km,灯塔,A,在,观察站,C,的北偏东20,的方向上,灯塔,B,在观察站,C,的南偏东40,的方向上,则灯,塔,A,与灯塔,B,的距离为,(,B,),A.,a,kmB.,a,kmC.,a,kmD.2,a,km,2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a,6,3.,在上题的条件下,灯塔,A,相对于灯塔,B,的方向为,(,B,),A.北偏西5,B.北偏西10,C.北偏西15,D.北偏西20,3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为(B),7,4.,设,A,B,两点在河的两岸,一测量者在,A,的同侧选定一点,C,测出,A,C,的距离为50,m,ACB,=45,CAB,=105,则可以计算出,A,B,两点间的距离为,.,答案,50,m,4.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测,8,5.,如图所示,D,C,B,三点在地面的同一直线上,DC,=,a,从,C,D,两点测得,A,点的仰,角分别为60,30,则,A,点离地面的高度,AB,=,.,答案,5.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从,9,考点突破,考点一测量距离问题,典例1,如图,为了测量两座山峰上,P,Q,两点之间的距离,选择山坡上一段长度,为300,m且和,P,Q,两点在同一平面内的路段,AB,的两个端点作为观测点,现,测得,PAB,=90,PAQ,=,PBA,=,PBQ,=60,则,P,Q,两点间的距离为,m.,考点突破考点一测量距离问题典例1如图,为了测量两座山峰上,10,答案,900,解析,由已知,得,QAB,=,PAB,-,PAQ,=30,.,又,PBA,=,PBQ,=60,AQB,=30,AB,=,BQ,.,又,PB,为公共边,PAB,PQB,PA,=,PQ,.,答案900解析由已知,得QAB=PAB-PAQ=3,11,在Rt,PAB,中,AP,=,AB,tan 60,=900(m),故,PQ,=900(m),P,Q,两点间的距离为900 m.,在RtPAB中,AP=ABtan 60=900(m),12,方法技巧,求距离问题的两个策略,(1)选定或确定要创建的三角形.首先确定所求量所在的三角形,若其他量已,知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.,(2)确定用正弦定理还是余弦定理.如果都可用,就选择更便于计算的定理.,方法技巧,13,1-1,(2019兰州一中期中)如图,从气球,A,上测得正前方的河流的两岸,B,C,的俯,角分别为75,30,此时气球距地面的高度是60 m,则河流的宽度,BC,等于,(,C,),A.240(,-1)mB.180(,-1)m,C.120(,-1)mD.30(,+1)m,1-1(2019兰州一中期中)如图,从气球A上测得正,14,答案,C如图,ACD,=30,ABD,=75,AD,=60 m,在Rt,ACD,中,CD,=,=,=60,m,在Rt,ABD,中,BD,=,=,=,=60(2-,)m,BC,=,CD,-,BD,=60,-60(2-,)=120(,-1)m.,答案C如图,ACD=30,ABD=75,A,15,考点二测量高度问题,典例2,为了测量某新建的信号发射塔,AB,的高度,先取与发射塔底部,B,在同一,水平面内的两个观测点,C,D,测得,BDC,=60,BCD,=75,CD,=40 m,并在点,C,的正上方,E,处观测发射塔顶部,A,的仰角为30,且,CE,=1 m,则发射塔的高,AB,=,(,A,),A.(20,+1)mB.(20,+1)m,C.20,mD.(40,+1)m,考点二测量高度问题典例2为了测量某新建的信号发射塔AB的,16,解析,过点,E,作,EF,AB,垂足为,F,则,EF,=,BC,BF,=,CE,=1 m,AEF,=30,.,在,BCD,中,由正弦定理得,BC,=,=,=20,(m).所以,EF,=20,m,在Rt,AFE,中,AF,=,EF,tan,AEF,=20,=20,(m),所以,AB,=,AF,+,BF,=(20,+1)m.,解析过点E作EFAB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE,17,方法技巧,求解高度问题应注意以下三点,(1)理解概念:仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所,成的角).,(2)画图:若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空,间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.,(3)转化:注意山或塔等建筑物垂直于海平面或地面,把空间问题转化为平面,问题.,方法技巧,18,2-1,如图,为了测量河对岸的电视塔,CD,的高度,小王在点,A,处测得塔顶,D,的仰,角为30,塔底,C,与,A,的连线同河岸成15,角,小王向前走了1 200 m到达,M,处,测,得塔底,C,与,M,的连线同河岸成60,角,则电视塔,CD,的高度为,m.,2-1如图,为了测量河对岸的电视塔CD的高度,小王在点A处,19,答案,600,解析,在,ACM,中,MCA,=60,-15,=45,AMC,=180,-60,=120,由,=,得,=,解得,AC,=600,m.在,ACD,中,tan,DAC,=,=,DC,=600,=600,m.,答案600 解析在ACM中,MCA=60-15,20,考点三测量角度问题,典例3,(1)(2019武昌调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45,方,向600 km的,A,处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,已知距,风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的,时间为(,B,),A.14 hB.15 hC.16 hD.17 h,考点三测量角度问题典例3(1)(2019武昌调研)如图,21,(2)已知岛,A,南偏西38,方向上,距岛,A,3海里的,B,处有一艘缉私艇.岛,A,处的一艘,走私船正以10海里/小时的速度在岛,A,的北偏西22,方向上行驶,则缉私艇朝何,方向以多大速度行驶时,恰好用0.5小时能截住该走私船?,(2)已知岛A南偏西38方向上,距岛A 3海里的B处有一艘,22,解析,(1)设,t,小时后热带风暴中心到达点,B,处,在,OAB,中,OA,=600 km,AB,=20,t,km,OAB,=45,由余弦定理得,OB,2,=600,2,+400,t,2,-2,20,t,600,令,OB,2,450,2,即4,t,2,-120,t,+1 575,0,解得,t,所以该码头将受到热带,风暴影响的时间为,-,=15(h).,(2)如图,设缉私艇在,C,处截住走私船,D,为岛,A,正南方向上一点,缉私艇的速度,为每小时,x,海里,结合题意知,BC,=0.5,x,海里,AC,=5海里,BAC,=180,-38,-22,=,120,解析(1)设t小时后热带风暴中心到达点B处,在OAB中,23,由,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos 120,得,BC,2,=49,所以,BC,=0.5,x,=7,解得,x,=14.,又由正弦定理得sin,ABC,=,=,=,所以,ABC,=38,又,BAD,=38,所以,BC,AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用,0.5小时截住该走私船.,由BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,24,方法技巧,测量角度问题的解题思路,解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将,解得的结果转化为实际问题的解.,提醒,方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是,哪一个点的方向角.,方法技巧,25,3-1,如图所示,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,的距离相等,灯塔,A,在观察,站,C,的北偏东40,的方向上,灯塔,B,在观察站,C,的南偏东60,的方向上,则灯塔,A,在灯塔,B,的,的方向上.,答案,北偏西10,3-1如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,26,解析,由已知,得,ABC,=,(180,-80,)=50,所以灯塔,A,在灯塔,B,的北偏西10,的方向上.,解析由已知,得ABC=(180-80)=50,27,3-2,如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于,A,处)发现在北,偏东45,方向,相距12 n mile的水面,B,处,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile,的速度沿南偏东75,方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏,东45,+,方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所,需的时间和角,的正弦值.,3-2如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于,28,解析,如图,设红方侦察艇在,C,处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为,x,小时,则,AC,=14,x,(n mile),BC,=10,x,(n mile),ABC,=120,.,解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间,29,根据余弦定理得(14,x,),2,=12,2,+(10,x,),2,-240,x,cos 120,解得,x,=2(负值舍去).,故,AC,=28 n mile,BC,=20 n mile.,由,=,解得sin,=,=,.,所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间为2,小时,角,的正弦值为,.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xc,30,数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与方法构建数学模型解决,问题的素养.在三角问题中,主要涉及测量角度、高度等,通过正、余弦定理,模型解决问题,最终解决实际问题.,素养引领,情境命题,数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与方法构建数学模,31,1.,如图,某人在垂直于水平地面,ABC,的墙面前的点,A,处进行射击训练.已知点,A,到墙面的距离为,AB,某目标点,P,沿墙面上的射线,CM,移动,此人为了准确瞄准,目标点,P,需计算由点,A