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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,一、行列式的计算方法,二、线性方程组的解法,三、逆矩阵的计算方法,四、矩阵秩的计算方法,五、向量组的线性相关性的判定方法,六、向量组的最大无关组的计算方法,七、方阵的特征值与特征向量的计算方法,复习提纲,第一章 行列式及其性质,2、3阶行列式的,对角线法则,。,n 阶行列式的定义。,行列式的6个,性质,。,行列式,按行（列）展开定理,。,计算行列式,：,运用行列式的性质（化简）及按行或列展开定理（降阶），,N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等,范德蒙行列式,）,。,2、,n,阶行列式的计算,性质1,行列式与它的转置行列式相等.,性质2,互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1),利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,(2),利用行列式展开计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,第二章 矩 阵,矩阵的,运算，乘法一般,不满足交换律和消去律,行列式乘积定理,：,|,AB,|=|,A,|,B,|。,|kA|,=,k,n,|A|,伴随矩阵,及其性质：,AA,*,=A,*,A=,|A|E,。,可逆矩阵,及其性质。,逆矩阵的计算（方法1：利用伴随阵，方法2：利用初等行变换）,求解线性方程组 Ax=b,克拉默法则(Cramers Rule)。,条件：,方程的个数=未知数的个数,，亦即，,系数矩阵A为方阵,。,解的性态：当系数矩阵,A的行列式非零时,，,亦即，,系数矩阵A为可逆阵时，,方程组有,唯一,解，并可由行列式的比值来表示；,当系数矩阵,A的行列式为零时,，亦即，,系数矩阵A为奇异阵,时，方程组,无解,或有,无穷多解.,第三章 矩阵的初等变换,矩阵的三种,初等行或列变换,。,用初等变换,求矩阵逆。,用初等变换,求解矩阵方程,AX=B,或,XA=B,。,含参数的线性方程组解的情况的讨论,矩阵 A,mn,的秩,求解线性方程组,Ax=b,基本方法：,消元法,。,消元法之数学表达,：对增广,矩阵,(A,b),进行,初等变换,。,解的性态定理,：,n,元线性方程组,Ax=b,（其中,A,为,m,行,n,列矩阵，亦即，线性方程组由m 个方程构成），,i),无解的充要条件,是,R(A)R(A,b).,ii),有惟一解的充要条件,是,R(A)=R(A,b)=n.,iii),有无限多解的充要条件,是,R(A)=R(A,b)n.,求得解的性态,：将增广矩阵(A,b)初等变换为,行阶梯形矩阵,，然后应用,解的性态定理,。,第四章 向量组的线性相关性,本章复习时要注意一个特点：,向量组,矩阵线性方程组,1、,求出方程组,的解作组合系数,矩阵表示形式：,复习：向量、向量组的线性表示,向量用向量组的线性表示问题,归结为,线性方程组解的问题！,表示系数为列！,2、,向量组用向量组的线性表示问题,归结为,矩阵方程解的问题！,线性无关,线性相关,（方阵）,（方阵）,求向量组 的一个极大无关组,以向量组 中各向量作为,列,向量，,构成矩阵 A；,则 B 中各非零行的首列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。,怎样利用 极大无关组表示其余向量？,求出向量组 的极大无关组；,(2)行阶梯形矩阵,B,行最简形矩阵,C,根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其余向量.,（行）初等变换,求解线性方程组 Ax=b,解的结构定理,：,i),设,m,n,矩阵A的秩为,r,，则,齐次线性方程组,Ax=0,的通解为,其中，向量组 称为该齐次方程组的,基础解系,。,ii),n元,非,齐次线性方程组,Ax=b,的通解为,求得解的,结构,：将增广矩阵(A,b)初等变换为,行,最简,形矩阵,，然后应用,解的,结构,定理,。,克拉默法则(Cramers Rule)。,方阵的特征值与特征向量,方阵的,特征值、特征向量的概念,及其求解。,
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