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单击此处编辑母版标题样式,1,导函数的,“,隐零点,”,问题,导函数的“隐零点”问题,知,识,拓,展,利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为,“,显零点,”,；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为,“,隐零点,”.,对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点,.,知 识 拓 展,题,型,突,破,题型一函数最值中的,“,隐零点,”,【例,1,】,设函数,f,(,x,),e,2,x,a,ln,x,.(,a,为大于零的常数,),，已知,f,(,x,),0,有唯一零点，求,f,(,x,),的最小值,.,题 型 突 破,设,f,(,x,),在,(0,，,),上的唯一零点为,x,0,，当,x,(0,，,x,0,),时，,f,(,x,),0,；,当,x,(,x,0,，,),时，,f,(,x,),0.,故,f,(,x,),在,(0,，,x,0,),上单调递减，在,(,x,0,，,),上单调递增，,所以当,x,x,0,时，,f,(,x,),取得最小值，最小值为,f,(,x,0,).,设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x,(1),解,f,(,x,),的定义域为,(,，,2),(,2,，,).,当且仅当,x,0,时，,f,(,x,),0,，,所以,f,(,x,),在,(,，,2),，,(,2,，,),单调递增,.,因此当,x,(0,，,),时，,f,(,x,),f,(0),1.,所以,(,x,2)e,x,(,x,2),，即,(,x,2)e,x,x,20,.,(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).,由,(1),知，,f,(,x,),a,单调递增，对任意,a,0,，,1),，,f,(0),a,a,10,，,f,(2),a,a,0.,因此，存在唯一,x,a,(0,，,2,，使得,f,(,x,a,),a,0,，即,g,(,x,a,),0.,当,0,x,x,a,时，,f,(,x,),a,0,，,g,(,x,),x,a,时，,f,(,x,),a,0,，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增,.,由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(,所以，由,x,a,(0,，,2,，,所以，由xa(0，2，,题型二不等式证明中的,“,隐零点,”,【例,2,】,(2017,全国,卷,),已知函数,f,(,x,),ax,2,ax,x,ln,x,，且,f,(,x,),0.,(1),求,a,；,(2),证明：,f,(,x,),存在唯一的极大值点,x,0,，且,e,2,f,(,x,0,)2,2,.,(1),解,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,设,g,(,x,),ax,a,ln,x,，则,f,(,x,),xg,(,x,),，,f,(,x,),0,等价于,g,(,x,),0,，,因为,g,(1),0,，,g,(,x,),0,，故,g,(1),0,，,题型二不等式证明中的“隐零点”,当,0,x,1,时，,g,(,x,)1,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增，所以,x,1,是,g,(,x,),的极小值点，故,g,(,x,),g,(1),0.,综上，,a,1.,(2),证明,由,(1),知,f,(,x,),x,2,x,x,ln,x,，,f,(,x,),2,x,2,ln,x,，,当0 x1时，g(x)0，g(x)单调递减；,当,x,(,x,0,，,1),时，,h,(,x,)0.,因为,f,(,x,),h,(,x,),，所以,x,x,0,是,f,(,x,),的唯一极大值点,.,由,f,(,x,0,),0,得,ln,x,0,2(,x,0,1),，故,f,(,x,0,),x,0,(1,x,0,).,因为,x,x,0,是,f,(,x,),在,(0,，,1),上的最大值点，由,e,1,(0,，,1),，,f,(e,1,),0,得,f,(,x,0,),f,(e,1,),e,2,.,所以,e,2,f,(,x,0,)2,2,.,当x(x0，1)时，h(x)0,，,a,R,).,(1),求函数,y,f,(,x,),的单调区间；,(2),当,a,1,时，证明：对任意的,x,0,，,f,(,x,),x,2,x,e,x,2.,(1),解,函数,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,当,a,0,时，,f,(,x,)0,对任意的,x,(0,，,),恒成立，所以函数,f,(,x,),单调递增,；,【训练2】已知函数f(x)x22xa(xln x),(2),证明,当,a,1,时，,f,(,x,),x,2,x,ln,x,，,只需证明,e,x,ln,x,20,，,设,g,(,x,),e,x,ln,x,2(,x,0),，,当,x,变化时，,g,(,x,),和,g,(,x,),变化情况如下表,x,(0,，,x,0,),x,0,(,x,0,，,),g,(,x,),0,g,(,x,),极小值,g,(,x,0,),(2)证明当a1时，f(x)x2xln x，当x变,因为,x,0,0,，且,x,0,1,，,因为x00，且x01，,(1),解,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,(,),若,a,2,，则,f,(,x,),0,，,当且仅当,a,2,，,x,1,时,f,(,x,),0,，,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递减,.,(1)解f(x)的定义域为(0，)，()若a2，则,(,),若,a,2,，令,f,(,x,),0,得，,()若a2，令f(x)0得，,(2),证明,由,(1),知，,f,(,x,),存在两个极值点时，当且仅当,a,2.,由于,f,(,x,),的两个极值点,x,1,，,x,2,满足,x,2,ax,1,0,，,所以,x,1,x,2,1,，不妨设,x,1,1.,(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a,又,g,(1),0,，从而当,x,(1,，,),时，,g,(,x,)0.,又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0,且,g,(,2),a,0,，即,0,a,2.,考虑到,x,1,，,x,2,是方程,2,x,2,4,x,a,0,的两根,.,【训练3】已知函数f(x)x2aln(x2)，aR,(,x,1,x,2,),2,2,x,1,x,2,a,ln2(,x,1,x,2,),x,1,x,2,4,其中,0,a,0),，,h,(,a,),4,，,a,2,，,h,(,a,),2,，所以,h,(,a,),的值域为,(2,，,4).,综上所述,f,(,x,1,),f,(,x,2,),的取值范围是,(2,，,4,).,(x1x2)22x1x2aln2(x1x2)x,
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