第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分课件

第二节 偏导数与全微分,-,*,-,第八章 多元函数的微分法及其应用,第二节 偏导数与全微分,一 偏导数,二 全微分,1,第二节 偏导数与全微分1,一 偏导数,函数对,x,偏增量,定义,在点,存在,的,偏导数,，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,如果极限,设函数,1,偏导数及其计算,注意:,有定义，,2,一 偏导数函数对x偏增量定义在点存在,的偏导数，记为的某邻,函数对,y,的偏增量,同样可定义对,则该偏导数称为,偏导函数,也简称为,偏导数,记为,的偏导数,或,若函数,在区域,内每一点,处对,偏导数存在，,3,函数对 y 的偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简,例如,三元函数,u=f,(,x,y,z,)在点(,x,y,z,)处对,x,的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(,请自己写出,),4,例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点,解,5,解5,证,原结论成立,6,证原结论成立6,解,7,解7,不存在,8,不存在8,例4 设,求,解,9,例4 设求解9,例5 求,的偏导数.,解:,10,例5 求的偏导数.解:10,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,11,有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要,2,偏导数存在与连续的关系,？,所以函,数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,因为,不存在,12,2 偏导数存在与连续的关系？所以函数在该点处并不连续.偏,3 偏导数的几何意义,是曲线,在点,M,0,处的切线,对,x,轴的斜率.,在点,M,0,处的切线,斜率.,是曲线,对,y,轴的,13,3 偏导数的几何意义是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的,4,高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,)在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,二阶混和偏导数,14,4 高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存,二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，,z=f,(,x,y,)关于,x,的三阶偏导数为,z=f,(,x,y,)关于,x,的,n,1 阶偏导数,再关于,y,的一阶,偏导数为,15,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可以定义更高阶的,解,16,解16,解,17,解17,例8,设,求,解,18,例8设求解18,解,19,解19,例10 设,求,解,20,例10 设求解20,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,则,定理.,例如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),说明:,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(,x,y,z,)连续时,有,而初等,(证明略),21,问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？则定理.例如,1,全微分的定义,二 全微分,函数,在点,的某邻域内有定义，,即,=,为这邻域内的任意一点，,并设,记为,为函数在点,P,对应于自变量增量,的,全增量,，,称这两点的函数值之差,则,二元函数对,的,偏增量,二元函数对,的,偏增量,22,1 全微分的定义二 全微分函数在点的某邻域内有定义，即,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,有关，,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,)在点(,x,y,),可微,，,如果函数,z=f,(,x,y,)在定义域,D,的内点(,x,y,),可表示成,处全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,称为函数,在点(,x,y,)的,全微分,定义,记作,23,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,事实上,如果函数,在点,可微分,则,函数在该点连续.,故函数,在点,处连续.,24,事实上 如果函数在点可微分,则函数在该点连续.故函数在点,2,可微的条件,定理,1（必要条件）,在点,可微分，,如果函数,的偏导数,必存在，,则该函数在点,在点,的全微分为,且函数,同样可证,证,:,由全增量公式,得到对,x,的偏增量,因此有,25,2 可微的条件定理1（必要条件）在点可微分，如果函数,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,在点,处有,同样可得,26,一元函数在某点的导数存在 微分存在多元函数的各,则,当 时，,27,则当 时，27,说明,：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,28,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证,（依偏导数的连续性）,同理,29,（依偏导数的连续性）同理29,习惯上，当,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合,叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,全微分写为,自变量时，记,例如,30,习惯上，当全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我,解,所求全微分,31,解所求全微分31,解,32,解32,解,所求全微分,33,解所求全微分33,例14 说明函数,34,例14 说明函数34,证,令,则,同理,35,证令则同理35,不存在.,36,不存在.36,37,37,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,38,多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数,全微分在近似计算中的应用,也可写成,39,全微分在近似计算中的应用也可写成39,解,由公式得,40,解由公式得40,41,41,