第一节-微分方程的基本概念课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,含有未知函数导数,(,或微分,),的方程,。,一、微分方程,1、微分方程：,常微分方程,(,1,),y,=,kx,k,为常数；,例如：,(,2,),(,y,-,2,xy,)d,x,+,x,2,d,y,=0；,(,3,),mv,(,t,),=,mg,-,kv,(,t,)；,偏微分方程,(,4,),(,5,),2、微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。,含有未知函数导数(或微分)的方程。一、微分方程1、微分方,1,3、n,阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,y,(,n,),)=0，,其中,x,是自变量，,y,是未知函数。,例如,mv,(,t,),=,mg,3、n 阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,2,代入微分方程后使其成为恒等式的函数。,二、微分方程的解,3、特解,：,1、微分方程的解,：,2、通解：,不含任意常数的解，即确定的函数。,含有,独立的,任意常数，且个数与阶数相同。,例如,y,=2,x,y,=,x,2,+,C,y,=,x,2,，,y,=,x,2,+,1,（特解）,（通解）,代入微分方程后使其成为恒等式的函数。二、微分方程的解3、特,3,4、初始条件,（用来确定任意常数的条件）：,一阶:,二阶:,5、初值问题,:,求微分方程满足初始条件的解的问题.,二阶微分方程的初始条件是,一阶微分方程的初始条件是,4、初始条件（用来确定任意常数的条件）：一阶:二阶:5、初值,4,例,1,验证函数,y,=3e,x,x,e,x,是方程,y,+,2,y,+,y,=0,的解.,解,求,y,=3e,x,x,e,x,的导数，,y,=-,4e,x,+,x,e,-,x,y,=5e,x,-,x,e,-,x,将,y,，,y,及,y,代入原方程的左边，,(5e,x,-,x,e,-,x,),+,2(,-,4e,x,+,x,e,-,x,),+,3e,x,x,e,x,=0，,即函数,y,=3e,x,x,e,x,满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解.,例 1 验证函数 y=3e x xe x,5,得,C,=,2，故所求特解为,y,=2,x,2,.,例,2,验证方程 的通解,为,y,=,Cx,2,(,C,为任意常数,)，,并求满足初始条件,y,|,x,=1,=,2 的特解.,解,由,y,=,Cx,2,得,y,=2,Cx,将,y,及,y,代入原方程的左、右两边，,左边有,y,=2,Cx,，,所以函数,y,=,Cx,2,满足原方程.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以,y,=,Cx,2,是一阶微分方程,将初始条件,y,|,x,=1,=,2 代入通解，,6,2、验证函数,的解?并指出是通解？还是特解？,作业：,特解的图象,:,通解的图象,:,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,2、验证函数的解?并指出是通解？还是特解？作业：特解的图象:,7,第二节 几种常见的一阶微分方程,一、可分离变量方程,二、一阶线性微分方程,第二节 几种常见的一阶微分方程一、可分离变量方程二、一阶线,8,一阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,)=0.,一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.,9,一、可分离变量方程,例如：形如,解法:,1、分离变量:,2、两边积分:,3、得出通解:,只写一个任意常数,称为,可分离变量的方程,一、可分离变量方程例如：形如解法:1、分离变量:2、两边积分,10,例,1,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,例 1 求方程解分离变量，得两边积分，得这就是所求方程,11,例,2,求方程,解,分离变量，得,两边积分，得,化简得,例 2 求方程解分离变量，得两边积分，得化简得,12,另外，,y,=0,也是方程的解，,因此,C,2,为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中,C,为任意常数.,中的,C,2,可以为,0，,这样，方程的通解是,分离变量得,另外，y=0 也是方程的解，因此 C2 为任意常数求解,13,二、一阶线性微分方程,若,Q,(,x,)0，则方程成为,一阶线性齐次微分方程,一阶线性非齐次方程,自由项,二、一阶线性微分方程若 Q(x)0，则方程,14,1,.一阶线性齐次方程的解法,可分离变量,两边积分,通解为,1.一阶线性齐次方程的解法可分离变量两边积分通解为,15,例,6,求方程,y,+,(sin,x,),y,=0 的通解.,解,所给方程是一阶线性齐次方程，且,P,(,x,)=sin,x,，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,例 6 求方程 y+(sin x)y=0 的通解.,16,1、一阶线性齐次微分方程,的通解为,2、一阶线性非齐次微分方程为,1、一阶线性齐次微分方程的通解为2、一阶线性非齐次微分方程为,17,2,.一阶线性非齐次方程的解法,设,y,=,C,(,x,),y,1,是非齐次方程的解，,将,y,=,C,(,x,),y,1,(其中,y,1,是齐次方程,y,+,P,(,x,),y,=0,的解)及其导数,y,=,C,(,x,),y,1,+,C,(,x,),y,1,代入非齐次方程,则有,即,y,1,为齐次方程的解,因此有,2.一阶线性非齐次方程的解法设 y=C(x)y1 是非齐,18,又因为,y,1,与,Q,(,x,),均为已知函数，,代入,y,=,C,(,x,),y,1,中，得,所以可以通过积分求得,又,所以,又因为 y1 与 Q(x)均为已知函数，代入 y=C,19,上述讨论中所用的方法，是将常数,C,变为待定函数,C,(,x,),，,再通过确定,C,(,x,),而求得方程解的方法，称为,常数变易法,.,对应齐次方程通解,所以一阶齐次方程,非齐次方程特解,对应齐次方程通解,通解为,上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x,20,例,4,求方程 2,y,-,y,=e,x,的通解.,解：,将所给的方程改写成下列形式：,则,代入通解公式，得,例 4 求方程 2y-y=ex 的通解.解：将所,21,解,例5,6/17,解例56/17,22,7/17,7/17,23,一、二阶线性微分方程解的结构,第四节,二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶线性微分方程解的结构第四节二阶常系数线性微分方程二,24,二阶微分方程的如下形式,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,f,(,x,),当,f,(,x,),0 时，称为,二阶线性非齐次微分方程,，,当,f,(,x,)=0,时,，,称为,二阶线性齐次微分方程,，,自由项,例如,y,+,xy,+,y,=,x,2,y,+,x,(,y,),2,+,y,=,x,2,(,不是二阶微分方程),方程中,p,(,x,)、,q,(,x,)和,f,(,x,)都是自变量的已知连续函数.,二阶微分方程的如下形式y+p(x)y+q(x)y,25,定理,1,如果函数,y,1,与,y,2,是线性齐次方程的两个解，,y=C,1,y,1,+,C,2,y,2,仍为该方程的解,，,证,因为,y,1,与,y,2,是方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y=,0 的两个解，,与,所以有,其中,C,1,，,C,2,是任意常数,.,则函数,定理 1如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个,26,于是有,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=0,所以,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,是,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=,0 的解.,于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以 y,27,定义,设函数,y,1,(,x,)和,y,2,(,x,),是定义在某区间,I,上的两个函数，,k,1,y,1,(,x,),+,k,2,y,2,(,x,),=0,如果存在,两个不全为 0 的常数,k,1,和,k,2,，,使,恒成立.,则称函数,y,1,(,x,)与,y,2,(,x,)在区间 上是,线性相关,的，否则称为,线性无关,.,则,y,1,=,l,y,2,，即,y,1,-,l,y,2,=0.,1、线性相关:,例如,y,1,=e,x,，,y,2,=e,-,x,2、线性无关：,定义设函数 y1(x)和 y2(x)是定义在某区间,28,定理,2,如果函数,y,1,与,y,2,是二阶线性齐次方程,y,+,p,(,x,),y,+,q,(,x,),y,=0 的,两个线性无关,的特解，,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,是该方程的通解，,其中,C,1,C,2,为任意常数.,定理 2如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程,29,一、二阶常系数线性齐次方程,一般形式:,p,q,为常数,第五节 二阶常系数线性微分方程,分析,由方程特点可看出:,为同一类型函数,之间相差常数因子.,因此假设,将 代入(1)得:,当 满足(2)时,是(1)的一个特解.,特征方程,特征根,根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形：,一、二阶常系数线性齐次方程一般形式:p,q为常数第五节 二,30,1、特征根为相异实根,:,是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为,2、特征根为二重根,:,是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.,设 代入方程(1):,取,得到另一个线性无关的特解,则(1)的通解为,1、特征根为相异实根 :是(1)的两个,31,线性无关特解,3、特征根为共轭复根:,是(1)的两个特解,则(1)的通解为,线性无关特解3、特征根为共轭复根:是(1)的两个特解,则(1,32,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(,1,),写出所给方程的特征方程；,(,2,),求出特征根；,(,3,),根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特,33,例,1,求方程,y,-,2,y,-,3,y,=0,的通解.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,2,r,3=0,它有两个不等的实根,r,1,=,-,1，,r,2,=,3,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,-,x,与,y,2,=e,3,x,所以方程的通解为,例 1求方程 y-2y-3y=0 的通解.,34,例,2,求方程,y,-,4,y,+,4,y,=0,的满足初始条件,y,(0)=1，,y,(0)=4 的特解.,解,该方程的特征方程为,r,2,-,4,r,+,4=0，,求得,将,y,(0)=1，,y,(0)=4 代入上两式，得,C,1,=1，,C,2,=2，,y,=,(1,+,2,x,)e,2,x,.,其对应的两个线性无关的特解为,y,1,=e,2,x,与,y,2,=,x,e,2,x,，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根,r,=2.,例 2求方程 y-4y+4y=0 的满,35,例,3,求方程 2,y,+,2,y,+,3,y,=0,的通,解.,解,该方程的特征方程为 2,r,2,+,2,r,+,3=0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例 3求方程 2y+2y+3y=0 的通解,36,例,4,求方程,y,+,4,y,=0,的通解.,解,该方程的特征方程为,r,2,+,4=0，它有共轭复根,r,1,2,=,2i.,即,a,=0，,b,=2.,对应的两个线性无关的解,y,1,=cos 2,x,.,y,2,=sin 2,x,.,所以方程的通解为,例 4求方程 y+4y=0 的通解.解该方,37,第一节-微分方程的基本概念课件,38,