线性方程组的求解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性方程组的求解,1,使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。,课件使用学时：4学时,面向对象：文科经济类本科生,目的：掌握线性方程组的知识点学习。,2,0.8,0.4,0.7,为民主党投票,为共和党投票,为自由党投票,0.3,0.1,0.1,0.3,0.1,0.2,假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为,假设一次选举中结果为,确定下一次和再下一次可能结果。,每次选举得票情况的变化为,我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。,3,对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达,一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况,得到下一次选举的结果：,于是下一次和再下一次可能结果为：,表示第,j,个党向第,i,个党转移的比例,0.8,0.4,0.7,为民主党投票,为共和党投票,为自由党投票,0.3,0.1,0.1,0.3,0.1,0.2,4,假设选举得票情况的变化是恒定,P,问从现在开始经过多年,若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？,若,P,是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于,1,，则相对于,P,的稳定向量必满足：,Pq=q,。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数,k,，使得,P,k,0,则,P,存在唯一的向量,q,满足条件。,易见,P,2,0,满足上述条件。于是上述问题转化为,:,如何求出满足,的非,0,向量,x,。,x=Px,即方程组,(P-I)x=0,的解，就是我们需要的结果。,5,齐次线性方程组,1.,齐次线性方程组（,2,）有解的条件,定理,1,：,齐次线性方程组 有非零解,定理,2,：,齐次线性方程组 只有零解,推论：,齐次线性方程组 只有零解,即,即系数矩阵,A,可逆。,有解的条件,解的性质,基础解系,解的结构,6,2.,解的性质,（可推广至有限多个解）,解向量：,每一组解都构成一个向量,性质：,若 是齐次线性方程组,Ax=0,的解，,则 仍然是,齐次线性方程组,Ax=b,的解。,解空间,:,的所有解向量的集合，对加法和数乘,都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次,线性方程组的解空间。,7,3.,基础解系,设,是,的解，满足,线性无关；,的任一解都可以由,线性表示。,则称,是,的一个,基础解系。,定理：,设,是,矩阵，如果,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,8,证明分三步,:,1.,以某种方法找 个解。,2.,证明这,个解线性无关。,3.,证明任一解都可由这,个解线性表示。,注：,的基础解系实际上就是解空间的一个基。,(1),(2),证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。,(3),基（基础解系）不是唯一的。,(4),当,时，解空间是,当,时，求得基础解系是,则,是,的解，,称为,通解。,4.,解的结构,的通解是,9,最终大约有的选票被共和党人得到,.,r(P-I)=20,。再将求出的解进行归一，,就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。,10,一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由,3,种设计中选择。,A,设计每层有,18,个公寓，包括,3,个三室单元，,7,个两室单元和,8,个一室单元；,B,设计每层有,4,个三室单元，,4,个两室单元和,8,个一室单元；,C,设计每层有,5,个三室单元，,3,个两室单元和,9,个一室单元。设该建筑有,x,层采取,A,设计，,y,层采取,B,设计，,z,层采取,C,设计。,（,2,）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。,（,3,）是否可能设计出该建筑，使恰有,66,个三室、,74,个两室和,136,一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。,11,解答,（,1,）表示当建筑,x,层采取,A,设计时，包括三室,单元，两室单元和一室的公寓数目。,（,3,）问题转化为：求非负整数,x,y,z,满足：,也就是非求齐次线性方程组,的解的问题。,12,非齐次性线性方程组,1.,有解的条件,定理,3,：,非齐次线性方程组,有解,并且，当,时，有唯一解；,当,时，有无穷多解。,13,分析,:,3.,解的结构,若,有解，则其通解为,其中,是（,1,）的一个特解，,是（,1,）对应的齐次线性方程组 的通解。,1.,证明,是解；,2.,任一解都可以写成,的形式。,2.,解的性质,性质,1,：,是 的解，则,是,对应的齐次线性方程组,的解。,性质,2,：,14,由此可得 ，因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。,进行计算,：,利用软件求解,房屋设计问题的解答,15,由问题的实际意义可知，方程组通解中,k,可以取值为,0,、,1,。,房屋设计问题（,3,）,的解答,即房屋的设计方案有两个：,1.,利用,A,设计的,2,层和,B,设计的,15,层,2.,A,设计的,6,层、,B,设计的,2,层和,C,设计的,8,层。,16,