平稳时间序列预测法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,7,平稳时间序列预测法,7.1,概述,7.2,时间序列的自相关分析,7.3,单位根检验和协整检验,7.4 ARMA,模型的建模,回总目录,7.1,概 述,时间序列 取自某一个随机过程，则称：,一、平稳时间序列,过程是平稳的,随机过程的随机特征不随时间变化而变化,过程是非平稳的,随机过程的随机特征随时间变化而变化,回总目录,回本章目录,宽平稳时间序列的定义：,设时间序列,，对于任意的,t,k,和,m,，,满足：,则称 宽平稳。,回总目录,回本章目录,Box-Jenkins,方法,是一种理论较为完善的统计预测方法。,他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、,预测，以及对,ARMA,模型识别、估计和诊断的系统方,法。使,ARMA,模型的建立有了一套完整、正规、结构,化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理,论基础。,ARMA,模型,是描述平稳随机序列的最常用的一种模型；,回总目录,回本章目录,ARMA,模型三种基本形式：,自回归模型（,AR,：,Auto-regressive,）；,移动平均模型（,MA,：,Moving-Average,）；,混合模型（,ARMA,：,Auto-regressive Moving-Average,）。,回总目录,回本章目录,如果时间序列 满足,其中 是独立同分布的随机变量序列,且满足：,则称时间序列 服从,p,阶自回归模型。,二、自回归模型,回总目录,回本章目录,自回归模型的平稳条件：,滞后算子多项式,的根均在单位圆外，即,的根大于,1,。,回总目录,回本章目录,如果时间序列 满足,则称时间序列 服从,q,阶移动平均模型。,或者记为 。,平稳条件：任何条件下都平稳。,三、移动平均模型,MA(q),回总目录,回本章目录,四、,ARMA(,p,q,),模型,如果时间序列,满足：,则称时间序列 服从,(,p,q,),阶自回归移动,平均模型。,或者记为,：,回总目录,回本章目录,q,=0,，,模型即为,AR(,p,),；,p,=0,，,模型即为,MA(,q,),。,ARMA(,p,q,),模型,特殊情况：,回总目录,回本章目录,例题分析,设,，其中,A,与,B,为两个独立的零均值随机变量，方差为,1,；,为,一常数。,试证明：,宽平稳。,回总目录,回本章目录,证明：,均值为,0,，,只与,t-s,有关，所以宽平稳。,回总目录,回本章目录,7.2,时间序列的自相关分析,自相关分析法是进行时间序列分析的有效方,法，它简单易行,较为直观，根据绘制的自,相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初,步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。,利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性,和平稳性，以及时间序列的季节性。,一、自相关分析,回总目录,回本章目录,（,1,）自相关函数的定义,滞后期为,k,的自协方差函数为：,则自相关函数为：,其中,回总目录,回本章目录,当序列平稳时，自相关函数可写为：,（,2,）样本自相关函数,其中,回总目录,回本章目录,样本自相关函数可以说明不同时期的数,据之间的相关程度，其取值范围在,-1,到,1,之间，值越接近于,1,，说明时间序列的,自相关程度越高。,回总目录,回本章目录,（,3,）样本的偏自相关函数,是给定了,的条件下，,与滞后,k,期时间序列之间的条件相关。,定义表示如下：,其中，,回总目录,回本章目录,时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：,若时间序列的自相关函数基本上都落入 置信区间，则该时间序列具有随机性；,若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。,回总目录,回本章目录,判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：,若时间序列的自相关函数,在,k,3,时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；,若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列就不具有平稳性。,回总目录,回本章目录,二、,ARMA,模型的自相关分析,AR(,p,),模型的偏自相关函数是以,p,步截尾的，自,相关函数拖尾；,MA(,q,),模型的自相关函数具有,q,步截尾性，偏,自相关函数拖尾；,（可用以上两个性质来识别,AR,和,MA,模型的阶数）,ARMA(,p,q,),模型的自相关函数和偏相关函数都,是拖尾的。,回总目录,回本章目录,7.3,单位根检验和协整检验,一、单位根检验,利用迪基,福勒检验（,Dickey-Fuller Test,）,和菲利普斯,佩荣检验（,Philips-,Perron,Test,），,也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的是，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。,回总目录,回本章目录,（,1,）随机游动,如果在一个随机过程中，的每一次变,化均来自于一个均值为零的独立同分布，即,随机过程,满足：,其中,独立同分布，并且：,称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。,回总目录,回本章目录,（,2,）,单位根过程,设随机过程,满足：,其中,为一个平稳过程并且,回总目录,回本章目录,（,3,）,协整关系,如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个,线性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序,列间就被称为有协整关系存在；,这是一个很重要的概念，我们利用,Engle-,Granger,两步协整检验法和,Johansen,协整检验,法可以测定时间序列间的协整关系。,回总目录,回本章目录,7.4 ARMA,模型的建模,一、,模型阶数的确定,（,1,）,基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法,对于,ARMA(,p,q,),模型，可以利用其样本的自相关函数,和样本偏自相关函数,的截尾性判定模型的阶数。,回总目录,回本章目录,具体方法如下：,对于每一个,q,计算,.,（,M,取,为,或者 ），考察其中满,足,或者,的个数是否占,M,个的,68.3%,或者,95.5%,。如果,，都明显地异于零，而,(,转下页,),回总目录,回本章目录,.,均近似于零，并且满足,上述不等式之一的,的个数达到其相应的比,例，则可以近似地判定,是 步截尾，平,稳时间序列,为,。,回总目录,回本章目录,类似，我们可通过计算序列,其中满足,，考察,或者,是否占,M,个的,68.3%,或者,95.5%,。即可以近似,的个数,地判定,是 步截尾，平稳时间序列,为,。,回总目录,回本章目录,如果对于序列,和,截尾，即不存在上述的,来说，均不,和,判定平稳时间序列,，则可以,为,ARMA,模型。,回总目录,回本章目录,（,2,）基于,F,检验确定阶数,（,3,）利用信息准则法定阶（,AIC,准则和,BIC,准则）,此外常用的方法还有：,回总目录,回本章目录,二、模型参数的估计,（,1,）,初估计,AR(,p,),模型参数的,Yule-Walker,估计,特例：,一阶自回归模型,AR(1),：,二阶自回归模型,AR(2),：,回总目录,回本章目录,MA(,q,),模型参数估计,特例：,一阶移动平均模型,MA(1),：,二阶移动平均模型,MA(2),：,回总目录,回本章目录,ARMA(p,q),模型的参数估计,由于模型结构的复杂性，比较困难，有几种,方法可以进行。一般利用统计分析软件包完成。,回总目录,回本章目录,（,2,）精估计,ARMA(,p,q,),模型参数的精估计，一般,采用极大似然估计，由于模型结构的复,杂性，无法直接给出参数的极大似然估,计，只能通过迭代方法来完成，这时，,迭代初值常常利用初估计得到的值。,回总目录,回本章目录,三、,ARMA(,p,q,),序列预报,设平稳时间序列,是一个,ARMA(,p,q,),过程，则其最小二乘预测为：,AR(,p,),模型预测,回总目录,回本章目录,ARMA(,p,q,),模型预测,其中：,回总目录,回本章目录,预测误差,预测误差为：,步线性最小方差预测的方差和预测步长 有关,而与预测的时间原点,t,无关。预测步长越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以,一般不能用,ARMA(,p,q,),作为长期预测模型。,回总目录,回本章目录,预测的置信区间,预测的,95%,置信区间：,回总目录,回本章目录,例题分析,设,为一,AR(2),序列，,其中,。,求,的自协方差函数,。,例,1,回总目录,回本章目录,解答：,Yule-Walker,方程为：,即：,回总目录,回本章目录,且：,联合上面三个方程，解出：,回总目录,回本章目录,例,2,考虑如下,AR(2),序列：,若已知观测值,（,1,）试预报,（,2,）给出（,1,）预报的置信度为,95%,的预报区间,回总目录,回本章目录,解答：,（1）,（2）,预报的置信度为,95%,的预报区间分别为：,回总目录,回本章目录,