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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,经 济 数 学 线 性 代 数,第3讲,行列式的展开,教师：边文莉,1,下一步,例如,一、余子式与代数余子式,2,下一步,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,3,下一步,4,下一步,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,证:,我们将分三步来证明此结论，先来证明它的,特殊情况，即某行只有一个元素不为0，而其,余元素为0时定理成立。,5,下一步,（1）,当第一行只有位于第一行第一列的元素,即有,又,从而,定理成立。,6,下一步,（2）,再证 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,7,下一步,得,8,下一步,得,9,下一步,10,下一步,中的余子式,11,下一步,故得,于是有,12,下一步,（3）,证明一般情况,把行列式的第 行的每个元素都写成,n,个,数的和的形式。然后利用行列式的性质，,把行列式拆成,n,个行列式的和。,13,下一步,14,下一步,例1,15,下一步,16,下一步,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(,Vandermonde),行列式,17,下一步,18,下一步,n-,1,阶范德蒙德行列式,19,下一步,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,20,下一步,同理,相同,21,下一步,关于代数余子式的重要性质,22,下一步,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,23,下一步,例 计算行列式,解,24,下一步,25,下一步,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,26,下一步,克莱姆法则,设线性方程组,则称此方程组为,非,齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,非齐次与齐次线性方程组的概念,27,下一步,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,28,下一步,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,29,下一步,证明,在把 个方程依次相加，得,30,下一步,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,31,下一步,由于方程组 与方程组 等价,故,也是方程组的 解.,32,下一步,二、,齐次线性方程组的相关定理,定理,如果齐次线性方程组 的系数行列式,则齐次线性方程组 没有非零解.,33,下一步,定理,齐次线性方程组,有非零解的充要,条件是它的系数行列式为零.,有非零解.,系数行列式,34,下一步,例1 用克拉默则解方程组,解,35,下一步,36,下一步,37,下一步,例2 问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,解,38,下一步,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,39,下一步,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,小结,40,下一步,3.用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,4.克拉默法则建立了线性方程组的解和的系,数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,41,
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