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按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,精选课件,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,精选课件,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,精选课件,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,精选课件,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,精选课件,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,精选课件,第四节,第七章,置信区间的概念,一、置信区间的概念,二、数学期望的置信区间,三、方差的置信区间,精选课件,第四节第七章置信区间的概念一、置信区间的概念 二、数学期望,一、置信区间的概念,这种形式的估计称为,区间估计,.,前面，我们讨论了参数点估计,.,它是用样本算得的,一个值去估计未知参数,.,但是点估计值仅仅是未知参数,的一个近似值，,它没有反映出这个近似值的误差范围，,使用起来把握不大,.,范围通常用区间的形式给出的。,较高的,可靠程度,相信它包含真参数值,.,也就是说，我们希望确定一个区间，,使我们能以比,这里所说的“,可靠程度,”是用概率来度量的，,称为置信概率，置信度或置信水平,.,习惯上把,置信水平,记作,，这里 是一个很小,的正数，称为,显著水平,。,精选课件,一、置信区间的概念这种形式的估计称为区间估计.前面，我们讨论,定义,7.6,若由总体,X,的,样本,X,1,X,2,X,n,确定的,则称 为随机区间。,两个统计量,随机区间与常数区间,不同，,其长度与在数轴上,的位置与样本,有关。,当一旦获得样本值,那么，,都是常数。,为常数区间。,精选课件,定义7.6若由总体X的样本 X1,X2,Xn 确定的则称,定义,7.7,若满足,设 是总体,X,的 一个未知参数，,的,置信区间,.,（双侧置信区间）,.,的,置信水平,（置信度）,为,分别称为置信下限和置信上限,为显著水平,.,为置信度，,则称区间 是,若存在随机区间,对于给定的,精选课件,定义7.7若满足设 是总体X的 一个未知参数，的置信,置信水平的大小是根据实际需要选定的,.,根据一个实际样本，,，使,一个尽可能小的区间,由于正态随机变量广泛存在，,指标服从正态分布，,特别是很多产品的,我们重点研究,一个正态总体,情形,由给定的置信水平，我们求出,即取置信水平 或,0.95,，,0.9,等,.,例如，通常可取显著水平 等,.,数学期望 和方差 的区间估计。,精选课件,置信水平的大小是根据实际需要选定的.根据一个实际样本，使一,设,为总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差。,对于任意给定的,，,我们的任务是通过样本寻找一,它以,1,的概率包含总体,X,的数学期望,。,个区间，,精选课件,设为总体的样本，分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的，,一、数学期望的置信区间,设,则随机变量,1,、已知,2,时，,的置信区间,令,精选课件,一、数学期望的置信区间设则随机变量1、已知2时，的置信区,令,这就是说随机区间,它以,1,的概率包含总体,X,的数学期望,。,由定义可知，此区间即为,的,置信区间,。,精选课件,令这就是说随机区间它以1的概率包含总体 X的数学期望。,这就是说随机区间,置信区间也可简记为,它以,1,的概率包含总体,X,的数学期望,。,由定义可知，此区间即为,的,置信区间,。,其置信度为,1,。,置信下限,置信上限,精选课件,这就是说随机区间置信区间也可简记为它以1的概率包含总体X,若取,查表得,若由一个样本值算得样本均值的观察值,则得到一个区间,我们称其为置信度为,0.95,的,的,置信区间。,其含义是：,若反复抽样多次，每个样本值（,n,=16),按公式,即,确定一个区间。,精选课件,若取查表得若由一个样本值算得样本均值的观察值则得到一个区间我,确定一个区间。,在这么多的区间内包含,的占,0.95,不包含,的占,0.05,。,本题中,属于那些包含,的区间的可信,程度,为,0.95.,或“该区间包含,”,这一事实的可信程度,注：,的置信水平,1,的置信区间不唯一。,为,0.95.,精选课件,确定一个区间。在这么多的区间内包含的占0.95,不包含的,由中心极限定理知，,当,n,充分大时，,无论,X,服从什么,分布，都近似有,的置信区间是总体,的前提下提出的。,均可看作,EX,的置信区间。,精选课件,由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么分布，都近,例,1,设总体,X,N,(,0.09),，有一组样本值：,12.6,，,13.4,，,12.8,，,13.2,，,求参数,的置信度为,0.95,的置信区间,.,解,的置信区间为,代入样本值算得,12.706,，,13.294,.,得到,的一个区间估计为,注：该区间不一定包含,.,有,1,=0.95,，,0,=0.3,，,n,=4,精选课件,例1 设总体X N(,0.0,又如，上例中同样给定,可以取标准正态分布上,分位点,z,0.04,和,z,0.01,则又有,则,的置信度为,0.95,的置信区间为,与上一个置信区间比较，同样是,其区间长度不一样，上例,比此例,短。,精选课件,又如，上例中同样给定可以取标准正态分布上分位点z0.04,置信区间短表示估计的精度高，,第一个区间为优,（单峰对称的）。,可见，像,N,(0,1),分布那样概率密度,的图形是单峰且对称的情况。,当,n,固定时以,的区间长度为最短，,我们一般选择它。,若以,L,为区间长度，则,可见,L,随,n,的增大而减少（,给定时），,有时我们嫌置信度,0.95,偏低或偏高，,也可采用,0.99,或,0.9.,对于,1,不同的值，,可以得到不同的置信区间。,精选课件,置信区间短表示估计的精度高，第一个区间为优（单峰对称的）。可,估计在区间 内,.,这里有两个要求,:,只依赖于样本的界限,(,构造统计量,),可见，对参数 作区间估计，,就是要设法找出两个,一旦有了样本，就把,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间长度,尽可能短，或能体现该要求的其它准则,.,1.,要求 很大的可能被包含在区间 内，,就是说，概率,即要求估计尽量可靠,.,要尽可能大,.,可靠度与精度是一对矛盾，,条件下尽可能提高精度,.,一般是在保证可靠度的,精选课件,估计在区间 内.这里有两个要求:只依赖于样本的,例,2,已知某种油漆的干燥时间,X,（单位,:,小时）,服从正态分布,其中,未知,现在抽取,25,个样品做试验，,得数据后计算得,取,求,的置信区间。,解,所求为,精选课件,例2已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）服从正态分布其中,例,3,中随机地抽查了,9,人，其高度分别为：,已知幼儿身高,现从,5,6,岁的幼儿,115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,精选课件,例3中随机地抽查了9人，其高度分别为：已知幼儿身高现从56,2,、未,知,2,时，,的置信区间,当总体,X,的方差未知时，,容易想到用样本方差,2,代替,2,。,已知,则对给定的,，令,查,t,分布表，可得,的值。,则,的置信度为,1,的置信区间为,精选课件,2、未知2时，的置信区间当总体X的方差未知时，容易想到用,例,4,40,名旅游者。,解,本题是在,2,未知的条件下求正态总体参数,的,置信区间。,选取统计量为,由公式知,的置信区间为,查表,则所求,的置信区间为,为了调查某地旅游者的消费额为,X,，,随机访问了,得平均消费额为,元，样本方差,设,求该地旅游者的平均消费额,的置信区间。,若,2,25,的置信区间为,即,精选课件,例4 40名旅游者。解本题是在2未知的条件下求正态总体参,例,5,用某仪器间接测量温度，重复测量,5,次得,求温度真值的置信度为,0.99,的置信区间。,解,设,为温度的真值，,X,表示测量值，通常是一个,正态随机变量,问题是在未知方差的条件下求,的置信区间。,由公式,查表,则所求,的置信区间为,精选课件,例5 用某仪器间接测量温度，重复测量5次得求温度真值的置信,例,6,解,本题是在,2,未知的条件下求正态总体参数,的,置信区间。,由公式知,的置信区间为,查表,则所求,的置信区间为,为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位,kg/cm,2,),设钢索所能承受的张力,X,，,分别估计这批钢索所能承受的平均张力,的范围与,所能承受的平均张力,。,随机选取了,9,个样本作试验，,即,则钢索所能承受的平均张力为,6650.9 kg/cm,2,由试验所得数据得,精选课件,例6解本题是在2未知的条件下求正态总体参数的置信区间。由,三、方差,2,的置信区间,下面我们将根据样本找出,2,的置信区间，,这在研究,生产的稳定性与精度问题是需要的。,已知总体,我们利用样本方差对,2,进行估计，,由于不知道,S,2,与,2,差多少？,容易看出把,看成随机变量，又能找到,它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。,的概率分布是难以计算的，而,对于给定的,精选课件,三、方差2的置信区间下面我们将根据样本找出2 的置信区间,即,则得到,2,随机区间,以 的概率包含未知方差,2,，,这就是,2,的置信度为,1,的,置信区间,。,精选课件,即则得到2随机区间以 的概率包含未知方差2,例,1,某自动车床加工零件，抽查,16,个测得长度（毫米）,怎样估计该车床加工零件长度的方差。,解,先求,2,的估计值,或,查表,精选课件,例1 某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）怎样估,所求,2,的置信度为,0.95,的 置信区间,所求,标准差,的置信度为,0.95,的 置信区间由,得,得,精选课件,所求2的置信度为0.95的 置信区间所求标准差的置信度为,例,2,为了估计灯泡使用时数（小时）的均值,和,解,查表,测试了,10,个灯泡得,方差,2,，,若已知灯泡的使用时数为,X,，,求,和,2,的置信区间。,由公式知,的置信区间为,的置信区间为,查表,即,由公式知,2,的置信区间为,2,的置信区间为,精选课件,例2 为了估计灯泡使用时数（小时）的均值和解查表测试了1,例,3,电动机由于连续工作时间（小时）过长会烧坏，,解,查表,烧坏前连续工作的时间,X,，得,求,和,2,的置信区间。,今随机地从某种型号的电动机中抽取,9,台，,测试了它们在,设,由公式知,的置信区间为,即,所求,2,的置信度为,0.95,的 置信区间,得,精选课件,例3 电动机由于连续工作时间（小时）过长会烧坏，解查表烧坏,寻找置信区间的方法,一般是从确定,误差限,入手,.,使得,称,为 与,之间的误差限,.,，可以找到一个正数,，,只要知道 的概率分布，确定误差限并不难,.,我们选取未知参数的某个估计量,，根据置信水平,由不等式,可以解出 ：,这个不等式就是我们所求的置信区间,.,精选课件,寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.使得称 为,单正态总体的区间估计,精选课件,单正态总体的区间估计精选课件,作业,P294 4 5 6 8 10 12,精选课件,作业P294 4 5 6 8 10 1,婴儿体重的估计,例,4,假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取,12,名婴儿，测得体重为：（单位：克）,3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540,试以,95%,的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差,.,解,设初生婴儿体重为,X,克，则,X,N,(,2,),(1),需估计,而未知 ,2,.,精选课件,婴儿体重的估计例4 假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机,作为统计量,.,有,=,，,n,=,，,t,0.025,(11)=,，,即,的置信区间。,(1),需估计,而未知 ,2,.,精选课件,作为统计量.有 =，n=,(2),需估计,2,而未知,，,
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