理学振动学基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019年2月2日,甘肃工业大学，陈玉红,#,0,(Vibration),第,4,章 振 动学基础,1,振动,具有时间周期性的运动。（狭义）,任何复杂的非周期运动，都可以分解为频率连续分布的无限多简谐振动的叠加。（广义）,例如,:,机械振动 微观振动 电磁振动,振动分类,受迫振动：,在外来策动力作用下的振动,自由振动,:,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,(,简谐振动,),无阻尼自由,谐振动,上页,下页,退出,返回,2,4.1,简谐振动,(,S,imple,H,armonic,M,otion),机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。,一,.,简谐振动的定义,物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称为简谐振动，简称谐振动。,最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以由若干个简谐振动合成。,弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动,3,上页,下页,退出,返回,t,x,o,振动曲线,5,（一）动力学部分：,1.,受力特点,:,线性恢复力,(,F,=-,kx,),2.,动力学方程,(,以水平弹簧振子为例,),x,m,o,x,上页,下页,退出,返回,6,（二）运动学部分：,解上式微分方程，,x,应为正弦或余弦函数。,特点,(1),等幅振动,(2),周期振动,x,(,t,)=,x,(,t+T,),上页,下页,退出,返回,7,二,.,描述,简谐振动,的特征量,1.,振幅,A,(amplitude),：,最大位移的绝对值,。,2.,周期,(period),T,：振动一次所需时间,频率,(frequency),v,：单位时间内的振动次数,=1/,T,(Hz),圆频率,(,角频率,),：,2,时间内物体所做的完全振动次数。,(,单位：,rad/s,或,1/s),2,T,=,2,=,上页,下页,退出,返回,8,固有频率决定于系统内在性质,单 摆,:,固有,(,圆,),频率,弹簧振子,:,固有周期,单 摆,:,弹簧振子,:,上页,下页,退出,返回,9,3.,相位,(phase),(1)(,t,+,),是,t,时刻的相位,(2),是,t,=0,时刻的相位,-,初相,(initial phase),(3),相位差,=(,2,t+,2,)-(,1,t+,1,),同频率：,初相差,相位变化的速率，描述谐振动状态变化快慢,10,当,=,(2,k,+1),(,k,=0,1,2,),两振动步调相反,称,反相。,x,2,T,x,o,A,1,-A,1,A,2,-A,2,x,1,t,反相,t,x,o,A,1,-A,1,A,2,-A,2,x,1,x,2,T,同相,上页,下页,退出,返回,同相和反相,当,=,2,k,(,k,=0,1,2,),两振动步调相同,称,同相,11,上页,下页,退出,返回,x,2,x,o,A,1,-A,1,-A,2,x,1,t,A,2,T,超前和落后,若,=,2,-,1,0,则,x,2,比,x,1,较早达到正最大,称,x,2,比,x,1,超前,(,或,x,1,比,x,2,落后,),。,12,三,.,简谐振动,的速度、加速度,1.,速度,速度也是简谐振动,比,x,领先,/2,13,o,T,t,x,、,、,a,x,2,A,0,0,0,a 0,0,0,减速,加速,减速,加速,A,A,-A,-,A,-,2,A,a,2.,加速度,也是简谐振动,14,3.,振幅和初相与初始条件的关系,所以：,15,单 摆,:,弹簧振子,:,是,t,时刻的,相位,是,t,=0,时刻的相位,-,初相,16,上页,下页,退出,返回,x,2,x,o,A,1,-A,1,-A,2,x,1,t,A,2,T,超前和落后,若,=,2,-,1,0,则,x,2,比,x,1,较早达到正最大,称,x,2,比,x,1,超前,(,或,x,1,比,x,2,落后,),。,17,(,1,),振动函数,（,复数形式,）,只要给定振幅,A,、角频率,和初位相,，,就等于给定了一个简谐振动。,四,.,简谐振动,的描述方法,18,习题,1.,某质点按余弦规律振动，其,x-t,曲线如图所示，则该质点振动初相位为（）,T=,2,(A)0;,(B)/2;,(C)/2;,(D).,19,（,2,）,振动曲线,x,o,t,0,=,/2,T=,2,A,-,A,=,0,o,m,x,0,=A,x,A,(,伸长量,),o,m,0,x,0,A,x,A,o,m,x,0,=,0,x,A,20,振动相位,逆时针方向,M,点在,x,轴上投影,(,P,点,),的运动,规律,：,的长度,旋转的角速度,旋转的方向,与参考方向,x,的夹角,X,O,M,P,x,振幅,A,振动圆频率,（,3,）旋转矢量,21,（,3,）旋转矢量,确,定,和研究振动合成很方便,x,v,0,0,0,x,0,A/,2,例如，已知,x,参考圆,(circle of reference),A,A,t+,o,x,t,t=,0,x,=A,cos(,t+,),则由左图给出,22,3,x,=4cos(,t,+)cm,t,=1s,t,=0,x,A,时矢量位置,方法一：由图，,=,/3,，,解：由题意，,T,=2 s,例,1,：已知,SHM,，,A,=4 cm,，,=0.5 Hz,，,t,=1s,时,x,=-2cm,且向,x,正向运动，写出振动表达式。,方法二：由,=,/3,=,/3,上页,下页,退出,返回,23,例,4-3,一物体沿,X,轴作简谐振动,，,振幅,A=0.12m,周期,T=2s,。,当,t=0,时,物体的位移,x,=,0.06m,且向,X,轴正向运动,。,求,:(1),简谐振动表达式,;(2),t,=,T/4,时物体的位置、速度和加速度,;(3),物体从,x,=-0.06,m,向,X,轴负方向运动，,第一次回到平衡位置所需时间。,解：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,24,四,.,简谐振动的能量,(,以水平弹簧振子为例,),简谐振动系统的能量特点,(1),动能,上页,下页,退出,返回,25,(2),势能,情况同动能。,上页,下页,退出,返回,(3),机械能,简谐振动系统机械能守恒，与振幅平方成正比。,26,x,t,T,E,E,p,o,(1/2)kA,2,E,k,27,习题,9,一个质量为,0.20kg,的质点做简谐振动，振动方程为,求振动动能和势能相等时，质点的位置。,解：,28,解：,例,2,：质量为,10,克的小球与轻弹簧组成系统，按,的规律振动，式中,t,以秒计，,x,以米计。求：,（,1,）振动的能量、平均动能和平均势能；,（,2,）振动势能和振动动能相等时小球所处的位置；,（,3,）小球在正向最大位移一半处、且向,x,轴正向运动时，它所受的力、加速度、速度。,上页,下页,退出,返回,29,要求,(2),上页,下页,退出,返回,30,(3),当,时，由旋转矢量法可知：,t,=0,x,A,上页,下页,退出,返回,31,上页,下页,退出,返回,32,4.2,简谐振动的合成,一,.,同方向同频率的简谐振动的合成,1.,分振动,:,x,1,=,A,1,cos(,t,+,1,),x,2,=,A,2,cos(,t,+,2,),2.,合振动,:,x,=,x,1,+,x,2,x,=,A,cos(,t,+,),合振动是简谐振动,其频率仍为,上页,下页,退出,返回,33,合振动是简谐振动,其频率仍为,上页,下页,退出,返回,M,1,M,34,3.,两种特殊情况,(1),若两分振动同相,2,1,=,2,k,(,k,=0,1,2,),(2),若两分振动反相,2,1,=,(2,k,+1),(,k,=0,1,2,),如,A,1,=,A,2,则,A,=0,则,A,=,A,1,+,A,2,两分振动相互加强,则,A,=|,A,1,-,A,2,|,两分振动相互减弱,上页,下页,退出,返回,35,习题,10,一轻弹簧倔强系数为,k,，下端悬有质量为,m,的盘子，现有一质量为,M,的物体从离盘,h,高度处自由下落到盘中，并和盘子粘到一起，于是盘子开始振动。求,:(1),此时振动周期与空盘时振动周期有何不同？（,2,）此时振动振幅；（,3,）以平衡位置为原点，位移向下为正，以弹簧开始振动为计时起点，求初相位，并写出振动方程,解,：（,1,）,36,（,2,）弹簧的平衡位置为静止时的位置，距离弹簧自然长度处,物体下落速度为：,(3),37,习题,11,已知两个谐振子的,v-t,曲线如图所示，它们是同方向同频率的谐振动。求,（,1,）求,两个谐振动的振动方程,；,（,2,）它们的合振动方程。,1,v,o,2,t,2,-2,0,2,38,习题,12,两个同方向的简谐振动为,（,1,）求合振动的振幅和初位相；,（,2,）另有一同方向的的简谐振动,