第1章矢量分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁场与电磁波,一、课程的性质,引 言,是,电类专业学生必修的技术基础课, 是电气工程师的必备知识, 是电磁理论的重要组成部分,电磁场（或电磁波）作为,能量,的一种形式，是当今世界最重要的能源，易于产生、储存、变换、传输和利用。,电磁波作为,信息传输,的载体，成为当今社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。,电磁波作为,探测未知世界,的一种重要手段，主要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、目标探测及特征获取。,3,1,电磁场理论的早期研究,电、磁现象是大自然最重要的自然现象，也是最早被科学家们关心和研究的物理现象。,公元前6世纪，希腊学者Thales发现用布摩擦过的琥珀能吸引轻微的物体。,16世纪吉尔伯特,的,论磁学，,描述了对电现象所做的研究，他把琥珀、金刚石、蓝宝石、硫磺、树脂等物质经摩擦后会吸引轻小物体的性质称为,“,电性,”,。,中国东汉时期,发明,了,“,司南,”,二、电磁场理论的发展,1785,年，库仑（,Coulomb,，,1736,1806,，法国物理学家）利用扭秤测试了真空中两个小电荷之间的吸引力，得到了著名的库仑定律。,其后Possion，Gauss等人的研究形成了静电场的初期理论。,1786,年，法国医学家,伽伐尼,发现了生物电流。,1799,年，意大利物理学家,伏打,发明电池。,1820,年，丹麦物理学家,奥斯特,发现电流磁效应，并创造了,Electromagnetics,（电磁学）一词。,法国物理学家,毕奥和沙伐尔,，归纳出电流元的磁场定律。,Lapalce,给出更严格的数学形式。,德国物理学家,安培,在实验的基础上进行数学推导，得到了更为普遍的电动力学公式。,2,电磁场理论的建立,1826,年欧姆发现欧姆定律。,1831,年,法拉第,(,英国物理学家）经过,10,年的多次失败，终于取得突破，发现了电磁感应现象。,法拉第的另一个贡献是提出了磁力线概念，为形象地表述磁场提供途径。,1833年,愣次,发现了感应电流的方向。,并,提出了力线概念。,1845年,纽曼,以定律的形式给出了电磁感应的定量规律。,法拉第,，出身贫寒，小学未毕业，但天生好学。11岁做报童。16岁做书籍装订工。这些工作让他有机会接触和学习很多知识。他酷爱听各种科学讲座，使他有幸成为化学家戴维的实验助手，从此他在实验科学方面做出卓有成效的工作。1821年（30岁）成为英国皇家学院实验室负责人。1824年（33岁）成为英国皇家学会会员。,1864,年英国物理学家，数学家,麦克斯韦,集前人之大成，富有创见地假设了位移电流和涡旋电场，建立了著名的麦克斯韦方程组，完成了宏观电磁场理论，并从理论上预测了电磁波的存在。,麦克斯韦,出生时，是法拉第发现电磁感应后2个多月。神童，10岁进爱丁堡学院学习 ，15岁在,“,爱丁堡皇家学报,”,发表论文，卡文迪什试验室首任主任。死于癌症。虽然只活了49 岁，但他却写了100多篇有价值的论文。是一位与牛顿、爱因斯坦相提并论的科学家。,10,3,电磁场理论的发展与应用,在麦克斯韦方程建立之后的一百多年里，随着科学技术的发展，电磁理论得到了广泛的应用和发展，尤其近,30,年来，无线电电子学、计算机和网络技术的飞速发展，生物电磁学、环境电磁学和电磁兼容等学科的建立，向电磁理论提出了许多新的研究课题，使现代电磁理论得到了迅速的发展。,11,1887,年，德国科学家,赫兹,用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。,电报,1895,年，意大利,马可尼,成功地进行了,2.5,公里的电报传送实验。,1899,年，电报跨越英吉利海峡的试验成功。,1901,年，跨越大西洋,3200,公里的试验成功。开始了电磁波信息传输的时代。,马可尼,以其在无线电报等领域的成就，获得,1909,年的诺贝尔奖。,电话,1876,年,美国科学家,贝尔,在美国建国,100,周年博览会上展示了他所发明的电话。此后,电话便迅速普及开来。,广播,1906,年，美国,费森登,用,50,千赫频率发电机作发射机，用微音器接上天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。,1919,年，第一个定时播发语言和音乐的无线广播电台在英国建成。次年在美国匹兹堡城又建成一座无线广播电台。,电视,1884,年，德国的,尼普科夫,提出机械扫描电视的设想。,1927,年，英国的,贝尔德,成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西洋中的船上。,1923,年和,1924,年，,兹沃霄金,相继发明了摄像管和显像管。,1931,年，世界上第一个全电子,电视系统,在美国出现。,雷达,1936,年，英国的,瓦特,设计的第一台警戒雷达投入运行，有效地警戒了来自德国的轰炸机。,1938,年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达,1940,年，多腔磁控管的发明，使微波雷达的研制成为可能。,1944,年，自动跟踪飞机的雷达研制成功。,1945,年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术发明,使雷达更加完善。,在整个第二次世界大战期间,雷达成了电磁场与电磁波理论最活跃的部分。,卫星通信,1958,年,美国发射低轨的,“,斯科尔,”,卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。,1964,年,借助定点的同步通信卫星首次实现了美、 欧、非三大洲的通信和电视转播。,1965,年,第一颗商用定点同步卫星投入运行。,1969,年,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。,卫星定位,1964,年，美国研究成功子午仪卫星导航系统。,1973,年美国提出了由,24,颗卫星组成的实用系统新方案，即,GPS,计划,.,1990,年最终的,GPS,方案是由,21,颗工作卫星和,3,颗在轨备用卫星组成。,18,其他应用,：,阴极射线示波器，喷墨打印机，矿物的分选，磁分离器，回旋加速器，磁流体发电机，电磁泵，磁悬浮列车，变压器，电磁炉，电磁式生物芯片，隐形飞机，电磁高速公路等等。,目前移动通信成为电磁波最耀眼的应用。由于民用，涉及千家万户，发展更为迅速，更为广泛，甚至改变了人类的生活习惯，也使电磁波、射频、天线成为寻常百姓都知道的词语。,如今电磁波应用几乎深入了各类领域，在我们身边随处可见：手机、蓝牙、无线上网、,WIFI,、卫星电视、,GPS,定位、物联网、智能家居等等。,20,矢量分析,电磁场的基本规律,静态电磁场及其边值问题的解,时变电磁场,均匀平面波在无界空间中的传播,均匀平面波的反射和透射,导行电磁波,电磁辐射,四、内容安排,21,五、学习的目的、方法及其要求,掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律,掌握宏观电磁波的传播规律,了解电磁波的辐射原理,掌握静态场问题的基本求解方法,训练分析问题、归纳问题的科学方法,培养用数学方法解决实际问题的能力,独立完成作业,22,六、主要参考书,【1】,谢处方，饶克谨,.,电磁场与电磁波（第,4,版）,.,北京：高等教育出版社，,2006,【2】,杨显清，王园，赵家升,.,电磁场与电磁波（第,4,版）教学指导书,.,北京：高等教育出版社，,2006,【3】,杨儒贵,.,电磁场与电磁波,.,北京：高等教育出版社，,2003,【4】,赵家升，杨显清，王园,.,电磁场与波典型题解析及自测试题,.,西安：西北工业大学出版社，,2002,【5】,冯林，杨显清，王园等编著,.,电磁场与电磁波,.,北京：机械工业出版社，,2004,第,1,章 矢量分析,本章内容,1.1,矢量代数,1.2,常用正交曲线坐标系,1.3,标量场的梯度,1.4,矢量场的通量与散度,1.5,矢量场的环流和旋度,1.6,无旋场与无散场,1.7,拉普拉斯运算与格林定理,1.8,亥姆霍兹定理,1.,标量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的单位矢量：,标量：,一个只用大小描述的物理量。,矢量的代数表示：,1.1,矢量代数,矢量：,一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字,母或带箭头的大写字母表示。,矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示,注意：单位矢量不一定是常矢量。,矢量的几何表示,常矢量：大小和方向均不变的矢量。,矢量用坐标分量表示,z,x,y,（,1,）矢量的加减法,两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。,矢量的加减符合交换律和结合律,2.,矢量的代数运算,矢量的加法,矢量的减法,在直角坐标系中两矢量的加法和减法：,结合律,交换律,（,2,）标量乘矢量,（,3,）矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,q,矢量 与 的夹角,（,4,）矢量的矢积（叉积）,q,sin,AB,q,矢量 与 的叉积,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,若 ，则,若 ，则,（,5,）矢量的混合运算,分配律,分配律,标量三重积,矢量三重积,三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,1.2,三种常用的正交曲线坐标系,在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：,直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系,。,三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为,正交曲线坐标系；,三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。,1,、直角坐标系,位置矢量,面元矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,点,P,(,x,0,y,0,z,0,),0,y,y,=,（,平面,）,o,x,y,z,0,x,x,=,（,平面,）,0,z,z,=,（,平面,）,P,直角坐标系,x,y,z,直角坐标系的长度元、面积元、体积元,o,d,z,d,y,d,x,c.,圆柱坐和直角坐标的关系,或者,a.,坐标变量,P,点位置,b.,坐标单位矢量,2,、圆柱面坐标系,d.,柱坐标的关系,e.,柱坐标单位矢不是常数，,有导数关系,或,o,f,x,y,单位圆,直角坐标系与柱坐标系之间,坐标单位矢量的关系,f,f.,位置矢量,g.,线元矢量,h.,面元矢量,i.,体积元,总结,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,3,、球面坐标系,a.,坐标变量,P,点坐标,b.,坐标单位矢量,c.,球坐标和直角坐标的关系,或者,d.,球坐标的关系,e.,球坐标的导数关系,或者,得到,f.,位置矢量,g.,线元矢量,h.,面元矢量,i.,体积元,总结：球面坐标系,球面坐标系,球坐标系中的线元、面元和体积元,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,4,、坐标单位矢量之间的关系,直角坐标,与,圆柱坐标系,圆柱坐标,与,球坐标系,直角坐标,与,球坐标系,o,q,r,z,单位圆,柱坐标系与求坐标系之间,坐标单位矢量的关系,q,q,o,f,x,y,单位圆,直角坐标系与柱坐标系之间,坐标单位矢量的关系,f,作 业,P31,：,1.1,，,1.4,1.3,标量场的梯度,如果物理量是标量，称该场为标量场。,例如：温度场、电位场、高度场等。,如果物理量是矢量，称该场为矢量场。,例如：流速场、重力场、电场、磁场等。,如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。,标量场和矢量场,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：,静态标量场和矢量场可分别表示为：,时变标量场和矢量场可分别表示为：,标量场的等值面,标量场的等值线,(,面,),等值面,:,标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。,等值面方程：,意义,:,形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。,等值面的特点：,常数,C,取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；,标量场的等值面充满场所在的整个空间；,标量场的等值面互不相交。,2.,方向导数,概念,：,M,0,M,方向导数的概念,式中,：,意义,：,方向导数表示场沿某方向的空间变化率,。,u,(M),沿 方向增加；,u,(M),沿 方向减少；,u,(M),沿 方向无变化；,特点：,方向导数既与点,M,0,有关，也与方向 有关。,的方向余弦。,方向导数的计算公式：,意义：,描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,记作：,定义：,标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在,等值面的法线方向,。,其中 为 取得最大值的方向,3,.,梯度,也可以改写成：,梯度的表达式,已知方向导数,则有：,即：梯度在直角坐标系中的表达式为,而标量函数在空间某点沿,l,方向的方向导数则等于标量函数在该点的梯度沿,l,方向的投影。,直角面坐标系,圆柱面坐标系,球面坐标系,梯度在三种坐标系中的表示,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。,标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,梯度运算的基本公式,：,即：,例,1.3.1,设一标量函数,(,x,y,z) =,x,2,y,2,z,描述了空间一标量场。试求：,(1),该函数,在点,P,(1,1,1),处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；,(2),求该函数,沿单位矢量,e,l,= e,x,cos60,e,y,cos45,e,z,cos60,方向的方向导数，并以点,P,(1,1,1),处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,解,(1),由梯度计算公式，可求得,P,点的梯度为,表征其方向的单位矢量,(2),由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 方向的方向导数为：,对于给定的,P,点，上述方向导数在该点取值为：,而该点的梯度值为,显然，梯度 描述了,P,点处标量函数,的最大变化率，即最大的方向导数，故,恒成立。,例,1.3.2,已知,试证明,证明（,1,）,作 业,P32,：,1.12,，,1.16,1.,矢量线,意义：,形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。,矢量线方程为：,概念：,矢量线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向。,矢量线,o,M,设,M,是矢量场,矢量线上的一点,矢径为,r,，则：,在,M,点,dr,与矢量线相切，可见,dr,与,F,共线：,1.4,矢量场的通量与散度,例,1.4.1,设点电荷,q,位于坐标原点，在周围空间任一点,M(x,y,z),处产生的电场强度矢量，求电场的矢量线,这组方程表示的是从电荷,q,处发出的射线束,代入矢量线方程,得到,一个矢量场中，在单位时间内沿着矢量场 方向通过 的流量是 ，而 是以 为底，以 为高的斜柱体的体积，即,称为矢量 通过面元 的通量。,对于有向曲面,s,，总可以,将,s,分成许多足够小的面元 ，,于是通过曲面,s,的总通量 ：,ds,2.,矢量场的通量,即为每一面元通量之积,对于闭合曲面,s,，通量为,推广到任一矢量场 有：,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果,闭合曲面的通量从,宏观上,建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。,通量的物理意义,3.,矢量场的散度,（,1,）定义：,为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：,称为矢量场的,散度,。,散度的重要性在于，可用于,表征空间各点矢量场发散的强弱程度,，当,，表示该点有散发通量的,正源,；,当,，表示该点有吸收通量的,负源,；,当,，表示该点为无源。,(2),散度的表达式,柱面坐标系,球面坐标系,直角坐标系,（,3,）散度的有关计算,例题：已知,求：,解：,4.,散度定理,体积的剖分,V,S,1,S,2,e,n2,e,n1,S,从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,散度公式的证明：,将矢量场中的有限体积,V,分割成若干小体元，对第,i,个小体元有：,对所有体积求和有：,上式右端相邻体元公共面上的面积分全部抵消，只剩下外表面的积分，当 时，则有：,V,S,证毕,1.5,矢量场的环流和旋度,矢量场的环流与旋涡源,不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：,上式建立了磁场的环流与电流的关系。,环流的概念,矢量场对于闭合曲线,C,的环流定义为该矢量对闭合曲线,C,的线积分，即,如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为,无旋场,，又称为,保守场,。,如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为,有旋场,，能够激发有旋矢量场的源称为,旋涡源,。电流是磁场的旋涡源。,2.,矢量场的旋度,矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。,设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么,以闭合曲线,L,为界的面积 逐渐缩小，,也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作,（1,）定义,即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向,，且通常,L,的正方向与 的规定要构成右手螺旋法则，为此定义,称为矢量场,的旋度（,rot,是,rotation,缩写）。,旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处,rot,，称为无旋场。否则，称为有旋场或涡旋场。,（,2,）旋度的表达式：,直角坐标系中,圆柱面坐标系中,球面坐标系中,（,3,）旋度的有关计算,：,矢量场的旋度,的散度恒为零,标量场的梯度,的旋度恒为零,3.Stokes,定理,Stokes,定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,曲面的,剖分,方向相反大小相等结果抵消,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,Stokes,定理的证明,：,将矢量场中的有限面积,S,分割成若干小面元，第,i,个小面元上一点的旋度在面元法向的分量为：,对所有面积求和有,：,上式右端相邻两面元周界的线积分全部抵消，只剩下最外周界的线积分，当 时，则有：,证毕,曲面的,剖分,方向相反大小相等结果抵消,例题：已知,求： 在 处的旋度,解：,另法：,梯度场是无旋场,1.,矢量场的源,散度源：,是标量，矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；,1.6,无旋场与无散场,旋度源：,是矢量，矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。,2.,矢量场按源的分类,（,1,）无旋场,性质：,线积分与路径无关，是保守场。,仅有散度源而无旋度源的矢量场，,例如：静电场,无旋场,可以用标量场的梯度表示为,函数,u,称为无旋场,F,的标量位函数，简称标量位。,（,2,）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质,：,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度,例如，恒定磁场,函数,A,称为无散场,F,的矢量位函数，简称矢量位,旋度场 是无散场,（,3,）无旋、无散场,（源在所讨论的区域之外）,称为拉普拉斯算符， 为拉普拉斯方程。,（,4,）有散、有旋场,这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,无旋场部分,无散场部分,（,5,）几种场的区别,1.7,拉普拉斯运算与格林定理,1.,拉普拉斯运算,标量拉普拉斯运算,拉普拉斯算符,概念：,直角坐标系,计算公式：,圆柱坐标系,球坐标系,矢量拉普拉斯运算,即,注意：对于非直角分量，,直角坐标系中：,如：,概念：,2.,格林定理,设任意两个标量场,，若在区域,V,中具有连续的二阶偏导数，那么，由散度定理 中令 可以证明该两个标量场满足等式。,式中,S,为包围,V,的闭合曲面。,S,V,根据方向导数与梯度的关系， 上式又可写成：,以上两式称为,标量第一格林定理。,式中,S,为包围,V,的闭合曲面， 为标量场在,S,表面的外法线,e,n,方向上的偏导数。,S,V,证毕,如果上式中的,和,对调,得到,：,上式称为,标量第二格林定理。,两,式,相减得到：,格林定理说明了区域,V,中的场与边界,S,上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。,格林定理广泛地用于电磁理论。,若矢量场在,无限空间,中,处处单值,，且其,导数连续有界,，源分布在,有限区域,中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,式中：,1.8,亥姆霍兹定理,有界区域,在,有界区域,，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。,这,就是,亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理表明：,1.,矢量场,F,可用一个标量场,u,的梯度和一个矢量场,A,的旋度之和表示。此标量函数由,F,的散度和,F,在边界,S,上的法向分量完全确定，而矢量场,A,则由,F,的旋度和,F,在边界,S,上的切向分量完全确定。,3.,如果在有界区域,V,内矢量场,F,的散度和旋度均处处为,0,。则,F,由其在边界面,S,上的场分布完全确定。,4.,对于无界空间，矢量场,F,由其散度和旋度完全确定。故无界空间中散度和旋度处处为,0,的矢量场是不存在的。,2.,矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和。,