相关性-北师大版-必修三

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,7,相关性,1,正方形的面积,y,与正方形的边长,x,之间的关系,y =,x,2,函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式,.,对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系,.,是函数关系，,是确定性关系,2,思考,1:,在学校里,老师经常对学生说,”,如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩就没有什么大问题,.,”,按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一定的相关关系,.,这种说法有根据吗,?,3,我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种,不确定性,的关系,.,类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义,.,4,思考,2,：,“,名师出高徒,”,可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？,生活中还有很多类似的描述这种相关关系的成语，,如：,“,虎父无犬子,”,，,“,瑞雪兆丰年,”,等,.,不是函数关系,.,5,1.,函数关系,是指变量之间存在着严格的数量依存关系，即当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，是一种确定关系。,2.,相关关系,是指变量之间存在着不严格的数量依存关系，即当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的取值是随机的，但它一般按某种规律在一定范围内变化，是一种非确定性关系。,变量之间的关系,6,函数关系的特点：,相关关系的特点：,（,1,）变量之间存在着数量上的依存关系,；,（,2,）变量之间数量上的依存关系的具体关系值是固定的，可以用数学公式表示,。,（,1,）变量之间确实存在着数量上的依存关系。,（,2,）变量之间数量上的依存关系的具体关系值难以固定，难以用数学公式表示。,7,相关关系与函数关系的异同点,（1）相同点：两者均是指两个变量的关系;,（,2）不同点：函数关系是一种,确定的关系,如匀速直线运动中时间,t,与路程,s,的关系；,相关关系是一种,非确定的关系,，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是,非随机变量与随机变量,的关系。,8,函数关系是一种,因果关系,，,而相关关系,不一定是因果关系,，也可能是,伴随关系,。,例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，,然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素,年龄，,当儿童长大一些以后，他的阅读能力会提高，而且人长大脚也变大。,9,探究下面变量间的关系,:,是函数关系还是相关关系？为什么？,1.,球的体积与该球的半径,;,2.,粮食的产量与施肥量,;,3.,小麦的亩产量与光照,;,4.,匀速行驶车辆的行驶距离与时间,;,5.,角,与它的正切值,关键在于判断变量间的这种关系是“确定性”还是“随机性”。,10,为了了解人的身高和体重的关系，我们随机地抽取了,9,名,15,岁的男生，测得他们的身高、体重如表,1-14,：,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,身高,165,157,155,175,168,157,178,160,163,体重,52,44,45,55,54,47,62,50,53,表,1-14,11,从表,1-14,中可以看出，同一身高,157cm,对应不同的体重（,44kg,和,47kg,），根据函数的定义知道，体重不是身高的函数,.,但是，如果把身高看作横坐标、体重看做纵坐标，在坐标系中画出对应的点，就会发现，随着身高的增长，体重基本上是呈直线增加的趋势。,12,在考虑两个不同的变量关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图叫作变量之间的,散点图,。,散点图的定义,13,O,如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。,作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽车每消耗,1,升汽油所行使的平均路程，称它们成,负相关,.,从刚才的散点图发现：身高越高，体重越重，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成,正相关,。,注,:,如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则这两个变量之间,不具有相关关系,.,但有的两个变量的相关，如下图所示：,正相关、负相关及,不具有相关关系,14,从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系时，这些点会有一个集中的大致,趋势,，这种趋势通常可以用一条光滑的,曲线,来,近似,，这样近似的过程称为,曲线拟合,。如图,1-26.,若两个变量的散点图看上去都在一条,直线附近波动,，则称变量间是,线性相关,的，此时，我们可以用一条直线来近似。如图,1-27.,这条直线叫,回归直线,。,曲线拟合与线性相关,图,1-27,图,1-26,15,若所有点看上去都在某条曲线,(,非直线,),附近,波动,，这称此相关为,非线性相关,的,.,此时，可以用一条曲线来拟合，如下图六,.,如果所有点在散点图中,没有,显示任何关系，则称变量间是,不相关的,.,如图七,.,图七,16,如何分析变量之间,是否具有相关的关系,分析变量之间是否具有相关的关系，我们可以借助日常生活和工作,经验,对一些常规问题来进行,定性分析,，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系。但仅凭这种定性分析不够；,17,一来定性分析有时会给我们以,误导,;,二来定性分析无法确定变量之间相互影响的,程度有多大,。,因些，我们还需要进行,定量分析,。,如何进行,定量分析,呢？,由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此，我们只能,借助统计,这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断。,18,例（,P47,） 一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市明光中学,2003,年高三年级,96,名学生的身高与右手一拃长的数据,(,表略）,。,（,1,）,根据上表中的数据，制成散点图。你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？,（,2,）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。,（,3,）如果一个学生的身高是,188,cm,，,你能估计他的一拃大概有多长吗？,例题讲解,19,根据上表中的数据，制成的散点图如下。,思考交流,20,从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的。那么，怎样确定这条直线呢？你是怎么想的？与同学进行交流。,21,同学,甲,说：我从左端点开始，取两条直线，如下图。再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。根据我的想法，一个身高,188,cm,的学生，他的右手一拃大概为,21,cm.,分析理解,22,分析理解,同学,乙,说：这样做不准确。我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。根据我的想法，一个身高,188,cm,的学生，他的右手一拃大概为,2,2 cm.,23,同学,丙,说：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在,170,cm,以下的，一部分是身高在,170,cm,以上的；,然后，每部分的点求一个“平均点”,身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（,164,，,19,），（,177,，,21,）；,最后，将这两点连接成一条直线。,设这条直线的方程是：,y,=,kx,+,b,，,其中,k,=,，,代入一点的坐标求出,b,=-6.231,，,进而直线,y,=0.154x-6.231,即为所求的直线。,根据我的想法，一个身高,188,cm,的学生，他的右手一拃大概有,22.7,cm,左右。,=,0.154,24,同学,丁,说：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点 按照同学,丙,的方法求一个“平均点”，,最小的点为（,161.3,，,18.2,），,中间的点为（,170.5,，,20.1,），,最大的点为（,179.2,，,21.3,）。,求出这三个点的“平均点”为（,170.3,，,19.9,）。,我再用直尺连接最大点与最小点，,然后平行地推，画出过点,(,170.3,，,19.9,),的直线。,25,26,设这条直线的方程是：,y,=,kx,+,b,，,其中,k,=,，,代入点,(170.3,19.9),的坐标求出,b,=,，,进而直线,y,= 0.173x-9.593,即为所求的直线。,根据我的想法，一个身高,188,cm,的学生，他的右手一拃大概有,2,3.0 cm.,27,同学甲和同学乙的思考方法是比较形象的，同学甲最直观，但比较粗略，同学乙“使得在直线两侧的点数尽可能一样多”是理性和精细的,同学丙和同学丁的思考方法是比较理性的，也是相对粗略的，但比较直观，也便于理解和操作这两种方法比较程序化，同学丁的方法更精细一点,同学丙和同学丁的思考方法本身是值得研究和探讨的，我们可以提出这样的问题,如果按照同学丙和同学丁的方法，那么你是否能将他们的思考方法更精细化,28,比如，我们可以将所有的点分成四个部分，每个部分取一个平均点，这样就得出了四个点的坐标，,然后，再分别求出这四个点中的前三个点和后三个点的平均点，最后将这两个点连成一条直线,这条直线在一定程度上要比同学丙和同学丁的方法精细一些,如此做下去，一定会得到越来越精细的拟合,29,从上面的讨论看，这些学生的处理方法差别很大，那么我们应当选取一个什么样的方法来处理更好些呢？,这将是我们下面一节中要讨论的。,在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之间没有函数关系。,我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述。,对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长。这是十分有意义的。,30,1,对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系,.,2,散点图能直观地反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法,.,3.,一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性,.,31,