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,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.3.1,不定积分,1.3.5,平面曲线积分,1.3.4,重积分,1.3,积分学,1.3.2,定积分,1.3.3,广义积分,1.3.6,积分应用,1.3.1,不定积分,1.,直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则,求不定积分的方法,(,要求记住基本积分公式,P16,）,.,2.,换元积分法,第一类换元的基本思路,第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有,例,2.,求,解,:,原式,第二类换元的解题思路为,使用该公式的关键为,第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等,3.,分部积分法,使用原则,:,1),由,易求出,v,;,2),比,好求,.,一般经验,:,按“,反,对,幂,指,三,”的顺序,排前者取为,u,排后者取为,例,3,求积分,解,（再次使用分部积分法）,解,两边同时对 求导,得,2,、定积分的性质,性质,1,性质,2,性质,3,1,、定积分定义：,1.3.2,定积分,性质,5,推论：,（,1,）,（,2,）,性质,4,性质,7(,定积分中值定理,),性质,6,积分中值公式,3,、积分上限函数的导数,也可写成,牛顿,莱布尼茨公式,4,、牛顿,莱布尼茨公式,5,、定积分的计算法,换元公式,（,2,）第二类换元法,（,3,）分部积分法,分部积分公式,注：应尽可能先用简便算法：,1,、几何意义；,2,、对称性；,3,、奇偶性；,4,、重要结论,（,1,）凑微分法,6,、重要结论,为正偶数,为大于,1,的正奇数,1.3.3,广义积分,(1),无穷限的广义积分,(2),无界函数的广义积分,1.,在直角坐标系下计算二重积分,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,1.3.4,重积分（化为累次积分）,解,2.,在极坐标系下计算二重积分,例,9.,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,例,10.,交换下列积分顺序,解,:,积分域由两部分组成,:,视为,Y,型区域,则,1.3.5,平面曲线积分,计算定积分,转 化,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,说明,:,(1),积分限必须满足,(2),注意到,1.,对弧长的曲线积分的计算,如果曲线,L,的方程为,则有,如果方程为极坐标形式,:,则,例,11.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1),之间的一段弧,.,解,:,上点,O,(0,0),2.,对坐标的曲线积分的计算法,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,例,12.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,区域,D,分类,单,连通区域,(,无,“洞”,区域,),多,连通区域,(,有,“洞”,区域,),域,D,边界,L,的,正向,:,域的内部靠左,设区域,D,是由分段光滑正向曲线,L,围成,则有,格林公式,函数,在,D,上具有连续一阶偏导数,3.,格林公式,例,13.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0,0),到,A,(4,0).,解,:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D,则,1.,平面图形的面积,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,边梯形面积为,A,右下图所示图形面积为,1.3.6,积分应用,例,14.,计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积,.,解,:,由,得交点,例,15.,求椭圆,解,:,利用对称性,所围图形的面积,.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,(1),曲线弧由直角坐标方程给出,:,所求弧长,2.,平面曲线的弧长,(2),曲线弧由参数方程给出,:,所求弧长,连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,3.,旋转体体积,4.,空间立体体积,曲顶柱体,的顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,的立体的体积为,5.,曲面面积,即,若光滑曲面方程为,
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