常微分方程数值解欧拉方法课件

,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6,常微分方程数值解法,常微分方程,欧拉方法,龙格,-,库塔方法,6 常微分方程数值解法常微分方程,1,引子,人口模型（看书上）,人口理论,一阶常微分方程的初值问题,数值解：离散点上的近似值,引子人口模型（看书上）,2,一阶线性常微分方程初值问题,数值方法的基本思想,在解的存在区间上取,n,+1,个节点,利用数值计算方法寻求,y(x),在节点上的近似值：,y,0,y,1,.y,n,连续,离散,一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想 在解的存在区,3,一阶线性常微分方程初值问题,x,0,x,1,x,2,x,i,x,i+1,x,n,6.1,欧拉方法与,Runge-Kutta,法,一、欧拉,(Euler),方法,x,n,=,x,0,+,nh,，,h,为步长,一阶线性常微分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.,4,一,.,欧拉方法,差分和差商,用差商代替导数,将微分方程离散化,得到递推公式,1.,差分方法,一.欧拉方法差分和差商用差商代替导数,将微分方程离散化,5,几何意义：,用折线近似曲线,y=y(x),欧拉法又称为,折线法,已知初值,y,0,依据递推公式,逐步算出,y,1,y,2,y,n,y,n+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差,几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法已,6,2.,数值积分方法（也可导出欧拉公式）,2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）,7,（,1,）显式差分格式,（单步）显式格式,左矩形公式,（1）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式,8,（,2,）隐式差分格式,由右矩形公式,想求（近似的）,y,，但等式的等号左右都有：隐式,如,（2）隐式差分格式由右矩形公式想求（近似的）y，但等式的等号,9,还有一种隐式：积分用梯形公式,也是隐式,还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式,10,思索,显式的欧拉公式，好用，粗糙,隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程,组合之？,组合：预报,-,校正,思索显式的欧拉公式，好用，粗糙,11,预测,-,校正公式,也叫预报,-,校正公式,改进的欧拉公式,预测-校正公式也叫预报-校正公式,12,例,6.1,欧拉公式求解,f(0,0),的处理（也可以理解为一种近似）,表,6-1,图,6-1,本身有解析解，可与数值解比较,例6.1 欧拉公式求解f(0,0)的处理（也可以理解为一种近,13,二、欧拉方法的局部截断误差与精度,前提：一个假设（重要！即所谓的局部）,一阶精度，看书上,泰勒公式：,二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓,14,关于精度,:,常微分方程数值方法理论中,同阶无穷小,精度：,p,阶,关于精度:常微分方程数值方法理论中,15,类似地，梯形公式,/,改进的欧拉公式,-,局部,截断误差,有二阶精度,参考第,5,章,5.1,节,P66,页,类似地，梯形公式/改进的欧拉公式-局部截断误差有二阶精度,16,常微分方程数值解欧拉方法课件,17,三、几种差分格式的数值稳定性比较例,6.2,三种方法的比较,注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）,有精确解，一起比较,看教材,三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2 三种方法的比较,18,例,用欧拉法求初值问题,补例子：欧拉,(Euler),方法,当,h,=0.02,时在区间,0,0.10,上的数值解,例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉(Euler)方法当h,19,欧拉,(Euler),方法,n,x,n,y,n,y,(,x,n,),n,=y,(,x,n,),-,y,n,0,0,1.0000,1.0000,0,1,0.02,0.9820,0.9825,0.0005,2,0.04,0.9650,0.9660,0.0005,3,0.06,0.9489,0.9503,0.0014,4,0.08,0.9336,0.9354,0.0018,5,0.10,0.9192,0.923,0.0021,欧拉(Euler)方法nxnyny(xn)n=y(xn,20,再补例子：,例,在区间,0,1.5,上，取,h,=0.1,。,（,1,）用欧拉法计算公式如下：,（,2,）用改进欧拉法计算公式如下：,再补例子：例 在区间0,1.5上，取h=0.1。,21,计算要点,步长,区间,改进欧拉法（两步走）,前提：欧拉法、梯形法,计算要点步长,22,