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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同济版高等数学课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,11/18/2024,同济版高等数学课件,可降阶高阶微分方程 第五节一、,1,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解.,型的微分方程,11/18/2024,同济版高等数学课件,一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任,2,例1.,解:,11/18/2024,同济版高等数学课件,例1.解:9/23/2023同济版高等数学课件,3,例2.,质量为,m,的质点受力,F,的作用沿,Ox,轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力,F,均匀地减,直到,t,=,T,时,F,(,T,)=0.,如果开始时质点在原点,解:,据题意有,t,=0,时,设力,F,仅是时间,t,的函数:,F,=,F,(,t,).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,11/18/2024,同济版高等数学课件,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,4,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,11/18/2024,同济版高等数学课件,利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为9/2,5,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,11/18/2024,同济版高等数学课件,型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,6,例3.,求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,11/18/2024,同济版高等数学课件,例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积,7,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:,取坐标系如图.,考察最低点,A,到,(,:,密度,s,:,弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点,M,(,x,y,),弧段的受力情况:,A,点受水平张力,H,M,点受切向张力,T,两式相除得,11/18/2024,同济版高等数学课件,例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低,8,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,11/18/2024,同济版高等数学课件,则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索,9,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,11/18/2024,同济版高等数学课件,三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,10,例5.,求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,11/18/2024,同济版高等数学课件,例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通,11,M,:地球质量,m,:物体质量,例6.,静止开始落向地面,(不计空气阻力).,解:,如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,求它落到地面时的速度和所需时间,11/18/2024,同济版高等数学课件,M:地球质量例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力),12,两端积分得,因此有,注意“”号,11/18/2024,同济版高等数学课件,两端积分得因此有注意“”号9/23/2023同济版高等数学,13,由于,y=R,时,由原方程可得,因此落到地面(,y,=,R,)时的速度和所需时间分别为,11/18/2024,同济版高等数学课件,由于 y=R 时由原方程可得因此落到地面(y=R,14,说明:,若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:,此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,11/18/2024,同济版高等数学课件,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问:此时,15,例7.,解初值问题,解:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,11/18/2024,同济版高等数学课件,例7.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据,16,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与,x,轴围成的三角形面,例8.,二阶可导,且,上任一点,P,(,x,y,),作该曲线的,切线及,x,轴的垂线,区间 0,x,上以,解:,于是,在点,P,(,x,y,)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(1999 考研 ),11/18/2024,同济版高等数学课件,为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例8.,17,再利用,y,(0)=1 得,利用,得,两边对,x,求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,11/18/2024,同济版高等数学课件,再利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得定,18,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,11/18/2024,同济版高等数学课件,内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令9/23,19,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:,令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:,(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,11/18/2024,同济版高等数学课件,思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用,20,P323 1,(5),(7),(10),;,2,(3),(6),;,3;4,作业,第六节,11/18/2024,同济版高等数学课件,P323 1(5),(7),(10);,21,速度,大小为 2,v,方向指向,A,提示:,设,t,时刻,B,位于(,x,y,),如图所示,则有,去分母后两边对,x,求导,得,又由于,设物体,A,从点(0,1)出发,以大小为常数,v,备用题,的速度沿,y,轴正向运动,物体,B,从(1,0)出发,试建立物体,B,的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,11/18/2024,同济版高等数学课件,速度大小为 2v,方向指向A,提示:设 t 时刻,22,代入,式得所求微分方程:,其初始条件为,即,11/18/2024,同济版高等数学课件,代入 式得所求微分方程:其初始条件为即9/23/202,23,
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