平面问题的极坐标解答习题课课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,平面问题的极坐标解答,（习题讲解）,平面问题的极坐标解答（习题讲解）,1,习题,4-1,试导出位移分量的坐标变换式,S,u,v,习题4-1试导出位移分量的坐标变换式Suv,2,习题,4-2,设有内径为,a,而外径为,b,的圆筒受内压力,q,，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。,解：,轴对称问题的径向位移公式（,平面应变,）：,对于圆筒轴对称问题，有,u,r,不随,变化，即,又由,位移单值条件,，有,常数,A,、,B,由应力边界条件确定。,应力分量：,边界条件：,习题4-2设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q,3,平面问题的极坐标解答习题课课件,4,习题,4-3,设有刚体，具有半径为,b,的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为,b,而内半径为,a,的圆筒，受内压力,q,，试求圆筒壁的应力。,解：,刚体,边界条件：,代入边界条件，有,将常数,A,、,C,代入，有,习题4-3设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置,5,将常数,A,、,C,代入，有,刚体,将常数A、C 代入，有刚体,6,习题,4-4,矩形薄板受纯剪，剪力集度为,q,，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。,45,解：,x,y,r,x,y,r,(a),由图（,a,）给出的孔边应力结果：,得：,习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边,7,习题,4-5,楔形体在两侧受有均布剪应力,q,，如图所示。试求其应力分量。,x,y,O,q,q,解：,（,1,）应力函数,的确定,由因次分析法，可知,代入相容方程：,得到：,习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力,8,（,2,）应力分量的确定,x,y,O,q,q,（2）应力分量的确定xyOqq,9,（,2,）应力分量的确定,x,y,O,q,q,由,对称性,，,应为,的偶函数,；,应为,的奇函数,，,因而有，,（,3,）由边界条件确定常数,边界条件：,代入，有：,代入应力分量式，有,（2）应力分量的确定xyOqq由对称性，应为 的偶函数；应,10,x,y,O,q,q,代入应力分量式，有,xyOqq代入应力分量式，有,11,习题,4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载,P,，如图所示。试用公式（,4-21,）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。,x,y,O,P,解：,由密切尔（,J.H.Michell,）解答，得,密切尔（,J.H.Michell,）解答,习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试,12,习题,4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载,P,，如图所示。试用公式（,4-21,）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。,x,y,O,P,解：,由密切尔（,J.H.Michell,）解答，得,由应力分量的坐标变换式：,习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试,13,平面问题的极坐标解答习题课课件,14,由坐标变换式：,由坐标变换式：,15,x,材料力学结果：,截面弯矩,x,y,O,P,截面惯性矩,截面正应力,弹性力学结果,两者结果相差较大。,x材料力学结果：截面弯矩xyOP截面惯性矩截面正应力 弹,16,习题,4-7,曲梁在两端受相反的两个力,P,作用，如图所示。试求其应力分量。,x,y,r,a,b,O,P,P,解：,（,1,）应力函数的确定,分析：,任取一截面 ，截面弯矩为,将其代入相容方程：,（,a,）,习题4-7曲梁在两端受相反的两个力 P 作用，如图所示。试求,17,上述欧拉方程的解：,（,b,）,代入应力函数为,（,c,）,（,2,）应力分量的确定,（,d,）,上述欧拉方程的解：（b）代入应力函数为（c）（2）应力分,18,边界条件：,代入应力分量得：,x,y,r,a,b,O,P,P,（,d,）,边界条件：代入应力分量得：xyrabOPP（d）,19,边界条件：,代入应力分量得：,端部条件（右端）：,代入剪应力分量得：,（,f,）,联立求解式（,e,）、（,f,），得：,x,y,r,a,b,O,P,P,（,e,）,自然满足,边界条件：代入应力分量得：端部条件（右端）：代入剪应力分量得,20,其中，,代入应力分量式（,d,），有：,（,f,）,x,y,r,a,b,O,P,P,其中，代入应力分量式（d），有：（f）xyrabOPP,21,习题,4-8,设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力,P,，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。,解：,（,1,）应力分量,提示：须要考虑位移单值条件。,（,2,）确定常数,r,取一半径为,r,的圆板为隔离体，,其上受力如图。,由圆板的平衡，得,代入应力分量，有,习题4-8设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图,22,r,代入应力分量，有,恒等式,（,3,）由位移单值条件确定常数,A,r代入应力分量，有恒等式（3）由位移单值条件确定常数 A,23,由物理方程与几何方程：,r,其中：,应力分量：,由物理方程与几何方程：r其中：应力分量：,24,由物理方程与几何方程：,r,其中：,应力分量：,积分得：,代入：,将,u,r,代入积分得：,由物理方程与几何方程：r其中：应力分量：积分得：代入：将 u,25,将,u,r,u,代入,r,要使上式对任意的,r,、,成立，有,其中：,L,为常数。,（,a,）,（,b,）,求解式（,a,），,有,（,c,）,将式（,b,）变为：,（,d,）,将 ur u 代入r ,要使上式对任意的,26,（,d,）,求解式（,b,），,有,（,e,）,（,f,）,将 代入,u,有,由位移单值条件，,有,（d）求解式（b），有（e）（f）将,27,代入应力分量：,r,得到：,代入应力分量：r得到：,28,习题,4-9,半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用,q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：,（叠加法）,q,x,y,O,P,证法,1:,a,a,习题4-9半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q,如,29,q,x,y,O,P,a,a,x,y,O,a,a,q,P,x,y,O,a,a,q,P,（叠加法）,证法,1:,分析思路：,qxyOPaaxyOaaqPxyOaaqP（叠加法）证法1:,30,x,y,O,q,P,q,x,y,P,求解步骤：,由楔形体在一面受均布压力问题的结果：,（,4-25,）,xyOqPqxyP求解步骤：由楔形体在一面受均布压力问题的结,31,x,y,O,q,P,（由应力分量的坐标变换）,应力分量的直角坐标形式,xyOqP（由应力分量的坐标变换）应力分量的直角坐标形,32,x,y,O,a,a,q,P,y,y,+,a,x,y,O,q,P,xyOaaqPy y+axyOqP,33,x,y,O,a,a,q,P,xyOaaqP,34,x,y,O,a,a,q,0,P,x,y,O,q,P,y,y,a,xyOaaq0PxyOqPy ya,35,x,y,O,a,a,q,0,P,xyOaaq0P,36,q,0,x,y,O,P,a,a,q0 xyOPaa,37,（积分法）,证法,2:,q,x,y,O,P,y,x,利用半限平面边界上作用法向集中力,P,的结果，有：,由图中的几何关系，有：,（,1,）,将以上关系式代入式（,1,），有,（积分法）证法2:qxyOPyx 利用半限平面,38,q,x,y,O,P,y,x,（,2,）,（,1,）,（,3,）,qxyOPyx（2）（1）（3）,39,q,x,y,O,P,y,x,（,3,）,积分上式，有：,qxyOPyx（3）积分上式，有：,40,(,a,),(,b,),P,P,(a)(b)PP,41,(,c,),a,(c)a,42,补充题,x,y,O,M,P,列写图示问题的边界条件,补充题xyOMP列写图示问题的边界条件,43,x,y,O,M,P,xyOMP,44,试证明：,补充题,满足极坐标下平衡微分方程（,4-1,）,补充题,证明极坐标系下应变协调方程可表示为,:,轴对称情况下：,试证明：补充题满足极坐标下平衡微分方程（4-1）补充题证,45,补充题,设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（,4-1,）的一个特解,：,证明,:,（,4,1,）,代入极坐标下的平衡微分方程,:,显然，有,:,（,1,）,表明式（,1,）为方程（,4-1,）的一个特解。,补充题设弹性体受径向和环向常体力：,46,在弹性体受径向和环向常体力：作用下，下列应力分量可否为某个问题的可能解？,思考题：,（,2,）,答案：,不能成为某个问题的解。,为什么？,在弹性体受径向和环向常体力：作用下,47,有一薄壁圆筒的平均半径为,R,，壁厚为,t,，两端受相等相反的扭矩,M,作用。现在圆筒上发现半径为,a,的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,p,2,a,有一薄壁压力容器，受内压,p,作用，其平均半径为,R,，壁厚为,t,。现在容器壁上发现一半径为,a,的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,补充题,1.,补充题,2.,有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为 t，两端受相等相反,48,