第二章质点运动学

第 二,章,质 点 动 力 学,（,3,）,动能定律,功能原理,角动量守恒定律,2-7,功和,动,能,、功,(1),功的定义,:,力在位移方向上的分量和该位移大小的乘积。,(2),变力的功：,元功,例,1,一个人从,10m,深的井中，把,10kg,的水匀速地提上来。由于桶漏水，每升高,1m,漏去,0.2kg,的水。问把水从井的水面提到井口，人所做的功。,F=mg=,(,M,ky,),g,d,W=F,d,y=,(,M,ky,),g,d,y,所以,解,取一维坐标，以水井水面为原点,o,，,oy,轴向上。设水在高度,y,处其质量为,m,，据题意得,m,=,M,ky,其中,M,=10kg,，,k,=0.2kg/m,，又设拉力为,F,，则有,例,2,求万有引力的功。,解,2,、,动,能,动能定理,定义质点的动能为：,，则：,质点动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,解,例,1,m=0.1kg,的质点沿曲线 运动，求在,t,=0s,到,t,=2s,的时间内，作用在该质点的合外力对质点所做的功。,或,例,2,一链条总长为,l,，质量为,m,，放在桌面上并使之下垂，下垂的长度为,a,。设链条与桌面的滑动摩擦系数为,，令链条从静止开始运动，则,：（,1,）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（,2,）链条离开桌面时的速率是多少？,解,（,1,）,（,2,）对,链条应用动能定理,得,(1),保守力作功与路径无关，只取决于质点始末位置。因而存在一个由质点位置决定的一个态函数,U,(,r,),，这个态函数称之为,势能。,保守力做功等于势能增量的负值：,2-8,势 能,(2),势场中某一点的势能,设,a,点的势能为,0,，则,(3),保守力和势能函数的微分关系,由势能曲线可以知道：,1),、保守力作功等于势能的,减少。在一维情况下有,一元过程：,即,因此，保守力大小等于势能曲线的斜率，方向指向势能减少的方向。,(4),一维势能曲线,2),、,可判断质点的运动范围。,在封闭保守系统中，作总能量为,E,的水平线，与势能曲线相交的点表示,E,=,U,，,这些位置物体的,E,k,=0,。,3),、势能曲线上每一个局部的最低点,(,“,谷,”,),都是稳定平衡点，势能曲线上每个局部最高点（,“,峰,”,）都是不稳定平衡点，一旦质点偏离了不稳定平衡点，质点就会远离而去。因此，势能曲线还能形象地表示出系统的稳定性。,重力势能,弹性势能,引力势能,分子力势能曲线,例,1,一质量为,m,的质点，放在半径为,R,，质量线密度为,（质量均匀分布）的四分之一的圆周的圆心上，如图所示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆周与质点间的万有引力势能为多少,?,解,例,2,已知万有引力势能为,应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。,解一,在直角坐标系中,解二,例,3,对于弹簧振子，,(1),画出,U,(,x,),x,曲线，并作一高度为,E,的水平线，试说明图上哪段,x,范围是振子可以到达的。,(2),作,x,x,曲线，并讨论其运动情况。,解,2-9,能量守恒定律,1,、质点系的动能定理,由动能定理：,系统外力的功,系统内力的功,系统动能的增量,质点系的动能定理,系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。,2,、系统的功能原理,而保守内力作功：,设系统从状态,1,变化到状态,2,，由动能定理,则,叫做系统的,机械能。,即,功能原理,系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的代数和。,如果一个系统内只有保守内力做功，或者外力与非保守内力的总功为零，则机械能的总值保持不变。,3,、机械能守恒定律,常量,功能原理,这一结论称为,机械能守恒定律。,解,把物体和地球作为系统。摩擦力所作的功,例,1,在图中，一个质量,m,=2kg,的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从,A,滑到,B,。已知圆的半径,R,=4m,，物体在,B,处的速度,v,=6m/s,。求摩擦力所作的功。,O,R,A,B,N,G,f,r,v,例,2,在图中，一个质量为,m,的物体从静止开始，沿质量为,M,的四分之一圆弧形槽从,A,滑到,B,。已知圆的半径为,R,。设所有摩擦都可忽略，求,（,1,）,物体刚离开槽底时，物体和槽的速度各是多少？（,2,）在物体从,A,滑到,B,的过程中，物体对槽所做的功,W,。（,3,）物体到达,B,时对槽的压力。,解,（,1,）把物体,m,、槽,M,和地球作为系统，以地面为参考系。设物体离开槽底时，,物体和槽的速度分别为,v,、,V,。,由机械能守恒定律有,又由水平方向动量守恒定律有,O,R,A,B,N,G,v,M,m,（,2,）对,M,，由动能定理可得物体所做功,（,3,）当,m,到达,B,点瞬时,M,可视为以速度,V,运动的惯,性系。以,M,为参考系，,m,到达,B,点时相对于,M,的速度为,v,。则由,v,=,v,V,可得,解,O,R,A,B,N,G,v,M,m,得,由牛顿定律有,所以,例,3,质量为,m,和,M,的两个质点，最初它们相距很远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点相距,r,时，它们的相对速度为多少？,解,解得,练习,1,用,v,0,=20m/s,的初速度将一质量为,m,=0.5kg,的物体竖直上抛，所达到的高度,h,=16m,，则空气对它的平均阻力是,_,。,解法一,解法二,练习,2,测子弹速度的方法如图所示。已知子弹质量,m,=0.02kg,，木块质量,M,=9.98kg,，弹簧劲度系数,k,=100N/m,，子弹射入木块后，弹簧被压缩了,s,=0.10m,，求子弹的速度,v,。设木块与平面间摩擦因数,=0.2,。,解,、矢量矩,定义力 对参考点,O,的力矩为,2-10,角动量,（,1,）力矩,（,2,）动量矩,(,角动量,),解,(1),力矩,方向：垂直于屏幕向内。,例,一个质量为,m,的质点从,P,点由静止开始沿,y,轴自由下落。以原点,O,为参考点，求：,(1),任意时刻作用在,m,上的力矩,M,；,(2),任意时刻的角动量,L,；,方向：垂直于屏幕向内。,(2),角动量,2,、角动量定理,O,由于质点系的内力矩互相抵消，即,所以对质点系有,为质点系角动量的矢量和。,质点系的角动量守恒定理,对于非封闭的质点系，在合外力矩等于零的条件下，其总角动量保持恒定。,若,即,恒矢量。,则,太 阳,近日点,远日点,例,1,哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离是 ，此时它的速率是 。它离太阳最远时的速率是 ，这时它离太阳的距离 是多少？,解,在近日点和远日点时，,根据角动量守恒定理有,可得,例,2,在光滑的水平桌面上,A,点处放有质量为,m,0,的木块，木块与弹簧相连，弹簧的另一端固定在,O,点。其劲度系数为,k,，开始时弹簧处于自由长度,l,0,，如图所示。设有一质量为,m,的子弹以速度,v,0,沿垂直于,OA,方向射入木块，并嵌在其中。当木块运动到,B,点时，弹簧长度为,l,（,OB,OA,），试求木块在,B,点时的速度,v,的大小和方向。,（,1,）,子弹射入木块；（,2,）子弹和木块一起从,A,点运动到,B,点。,分析：本题可分为两个过程,：,解,第一过程中，子弹和木块的总动量守恒,第二过程中，机械能和角动量守恒,例,3,轻滑轮，猴与物等重，起初系统静止。现在，猴以相对绳的速度,v,向上爬。求重物上升的速度。,解,取猴和重物滑轮为一系统，相对滑轮中心的合外力矩为零，角动量守恒，角动量选向外为正。,例,4,轻滑轮，物体质量,M,+,m,，升降机质量,M,，人质量,m,，人在地面上跳，最大高度为,h,，若人在升降机中消耗同样的能量往上跳，人相对地面的速度多大？能跳多高？,解,作 业,第 二,章,P129,2-64,、,2-68,2-72,、,2-82,2-90,、,2-91,2-98,、,2-110,2-125,、,2-128,练习,1,一轻质弹簧劲度系数为,k,，两端各固定一质量均为,M,的物块,A,和,B,，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为,m,的子弹沿弹簧的轴线方向以速度,v,0,射入一物块而不复出。求此后弹簧的最大压缩长度。,解,弹簧压缩最大长度时，两物块的速度相同，设均为,v,。,由能量守恒,设子弹射入,A,后的速度为,V,，有,练习,2,一长方体蓄水池，面积,S,=50m,2,，蓄水深度,h,1,=1.5m,。水表面低于地面的高度是,h,2,=5m,。若要把水全部抽上来，抽水机要做多少功？,解,如图，将厚度为,d,y,的水抽到地面所做的元功为,则抽完水所做的功为,