空间向量的正交分解及其坐标表示ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导入新课,复习平面向量基本定理,如果两向量,a,，,b,不共线，那么对平面任一向量,p,，均存在有序实数组,x,，,y,，使得,p=xa+yb.,导入新课复习平面向量基本定理 如果两向量a，,当向量,a,垂直于向量,b,时，这种分解叫做,平面向量的正交分解,.,当向量a垂直于向量b时，这种分解叫做平面向量,平面上向量的这些性质能推广到空间吗？,平面上向量的这些性质能推广到空间吗？,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？,探究,类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗,设,i,，,j,，,k,是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点,O.,对于空间任意一个向量,p=OP,，设,Q,为点,P,在,i,，,j,所确定的平面上的正投影,.,x,z,Q,P,i,j,k,O,y,设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点,x,z,Q,P,y,i,j,k,O,由平面向量基本定理可知，在,OQ,k,所确定的平面上，存在实数,z,，使得,OP=OQ+zk.,xzQPyijkO 由平面向量基本定理可知，在,x,z,Q,y,i,j,k,O,在,i,，,j,所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（,x,，,y,），使得,OQ=xi+yj.,xzQyijkO 在i，j所确定的平面上，由平,x,z,Q,P,y,i,j,k,O,OP=OQ+zk,，,OQ=xi+yj,，从而,OP=OQ+zk=xi+yj+zk,xzQPyijkOOP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而O,空间向量的正交分解,空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项”,.,注意,由上述证明可知，如果,i,，,j,，,k,是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量,p,，存在一个有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p=xi+yj+zk.,称,xi,yj,zk,为向量,p,在,i,j,k,上的分向量,.,空间向量的正交分解 空间向量的正交分解与平面向量的正交,类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？,探究,类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？探,O,A,B,C,A,B,P,P,设,a,b,c,不共面，过点,O,作,OA=a,，,OB=b,，,OC=c,，,OP=p,；过,P,作直线,PP,平行于,OC,，交平面,OAB,与点,P,；在平面,OAB,中，过点,P,作直线,PA/OB,，,PB/OA.,OABCABPP 设a,b,c不共面，过点,O,A,B,C,A,B,P,P,于是存在三个实数,x,y,z,，使,OA=xOA=ya,OB=yOB=yb,PP=zOC=zc,OP=OA+OB+PP=xOA+yOB+zOC.,所以，,p=xa+yb+zc.,OABCABPP于是存在三个实数x,y,z，使OA=,空间向量基本定理,定理,如果三个向量,a,b,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p=xa+yb+zc.,空间向量基本定理定理 如果三个向量a,b,c不,注意,空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组,a,b,c,可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的,.,注意 空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知,基底和基向量,由空间向量基本定理，如果三个向量,a,b,c,不共面，那么所有,空间向量组成的集合,就是,p|p=xa+yb+zc,x,y,zR,.,c,b,a,基底和基向量 由空间向量基本定理，如果三个向量,基向量,c,b,a,集合,p|p=xa+yb+zc,x,y,zR,可以看做是由向量,a,b,c,生成的,.,a,b,c,叫做空间的一个,基底（,base,）,，,a,b,c,都叫做,基向量（,base vector,）,.,基向量cba 集合p|p=xa+yb+zc,注意,对于基底,a,b,c,需要明确以下几点：,1.,向量,a,b,c,不共面；,2.,空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；,3.,由于,0,可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是,0.,4.,一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,.,注意对于基底a,b,c需要明确以下几点：1.向量a,b,设,e1,e2,e3,为有公共点,O,的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以,O,为原点，分别以,e1,e2,e3,的方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴的正方向建立空间直角坐标系,Oxyz.,e1,e2,e3,x,y,z,O,设e1,e2,e3为有公共点O的三个两两垂直的,e1,e2,e3,x,y,z,O,p,对于空间任意一个向量,p,，一定可以把它平移，使它的起点与原点,O,重合，得到向量,OP=p.,P,e1e2e3xyzOp 对于空间任意一个向量p,这样，我们就有了从正交基底到空间直角坐标系的转换,.,由空间向量基本定理可知，存在有序实数组,x,y,z,，使得,p=xe1+ye2+ze3.,把,x,y,z,称作向量,p,在单位正交基底,e1,e2,e3,下的坐标，记做,p=(x,y,z).,此时，向量,p,的坐标恰是点,P,在空间直角坐标系,Oxyz,中的坐标（,x,y,z,）,.,这样，我们就有了从正交基底到空间直角坐标系的转换.,计算一下,计算单位正交基之间的数量积：,e1e2,e1e3,e2e3,e1e1,e2e2,e3e3.,e1e2=e1e3=e2e3=0.,e1e1=e2e2=e3e3=1.,计算一下 计算单位正交基之间的数量积：e1e2,e1,A,D,B,C,A,1,B,1,D,1,E,F,C,1,如图正方体,ABCD-ABCD,，点,E,F,分别是上底面,AC,和侧面,CD,的中心，若满足,AF-AD=xAB+yAA,，求,x,y,的值,.,例题,ADBCA1B1D1EFC1 如图正方体ABCD,所以，,A,D,B,C,A,1,B,1,D,1,E,F,C,1,所以，ADBCA1B1D1EFC1,课堂小结,1.,空间向量基本定理,.,在空间，具有大小和方向的量,如果三个向量,a,b,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p=xa+yb+zc.,课堂小结 1.空间向量基本定理.,2.,基底与基向量,.,空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底,.,一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,.,3.,空间向量的正交分解,.,能从正交基底到空间直角坐标系转换,.,2.基底与基向量.3.空间向量的正交分解.,高考链接,1.,（,2006,年 安徽卷）,在平行四边形,ABCD,中，,AB=a,，,AD=b,，,AN=3NC,，,M,为,BC,的中点，则,MN=_,.,（用,a,、,b,表示）,由,AN=3NC,，得,4AN=3AC=3(a+b),，,所以,高考链接1.（2006年 安徽卷）在平行四边形ABCD中,2.,如图，在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AB=BC,，,D,、,E,分别为,BB,1,、,AC,1,的中点，,证明：,ED,为异面直线,BB,1,与,AC,1,的公垂线,.,C,1,A,B,C,A,1,B,1,E,D,2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、,如图，建立直角坐标系,O-xyz,其中原点,O,为,AC,的中点,.,设,A(a,0,0),B(0,b,0),B,1,(0,b,2c),，,C,1,A,B,C,A,1,B,1,E,D,x,y,z,则,C(,-,a,0,0),，,C,1,(,-,a,0,2,c,),，,E(0,0,c),，,D(0,b,c),，,ED=(0,b,0),，,BB,1,(0,0,2c),，,EDBB,1,=0,，,E,DB,B,1,，,又,AC,1,=(-2a,0,2c),EDAC,1,=0,，,EDAC,1,，,所以,ED,是异面直线,BB,1,与,AC,的公垂线,.,O,如图，建立直角坐标系O-xyz其中原点O为AC的中点.设,课堂练习,1.,已知空间四边形,ABCD,，连结,AC,BD,，设,M,G,分别是,BC,CD,的中点，则,MG-AB+AD,等于（,）,2.,设,e1,e2,是平面上两个不共线向量，已知,AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,，若,A,B,D,三点共线，则,k=_.,B,-8,课堂练习1.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G,A,B,C,O,M,N,Q,P,3.,如下图，,M,N,分别为四面体,OABC,的边,OA,BC,的中点，,P,Q,是,MN,的三等分点,.,用向量,OA,OB,OC,表示,OP,和,OQ.,ABCOMNQP3.如下图，M,N分别为四面体OABC的边O,A,B,C,O,M,N,Q,P,解答,ABCOMNQP解答,A,B,C,O,M,N,Q,P,继续,ABCOMNQP继续,习题答案,1.,向量,c,与,a+b,a-b,一定构成空间的一个基底,.,否则,c,与,a+b,a-b,共面，于是,c,与,a,b,共面，这与已知矛盾,.,2.,共面,.,习题答案1.向量c与a+b,a-b一定构成空间的一个基底.,3.(1),解：,OB=OB+BB,=OA+AB+BB,=OA+OC+OO,=a+b+c,；,BA=BA+BB,=-OC+OO,=c-b,；,3.(1)解：OB=OB+BB,CA=CA+AA,=OA-OC+OO,=a-b+c.,(2)OG=OC+CG=OC+0.5CB=b+0.5(a+c),=0.5a+b+0.5c.,CA=CA+AA(2,