高等代数课件-第一章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、映射的概念及例,定义,1,设,A,，,B,是两个非空的集合，,A,到,B,的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合,A,中的每一个元素,x,，有集合,B,中一个唯一确定的元素,y,与它对应,.,用字母,f,，,g,，,表示映射,.,用记号 表示,f,是,A,到,B,的一个映射,.,如果通过映射,f,，与,A,中元素,x,对应的,B,中元素是,y,，那么就写作,这时,y,叫做,x,在,f,之下的象，记作,.,1.2,映 射,注意,:,A,与,B,可以是相同的集合，也可以是不同的集合,对于,A,的每一个元素,x,，需要,B,中一个唯一确定的元素与它对应,.,一般说来，,B,中的元素不一定都是,A,中元素的象,.,A,中不相同的元素的象可能相同,.,二、映射的相等及像,设 是一个映射,.,对于 ，,x,的象,.,一切这样的象作成,B,的一个子集，用 表示：,，,叫做,A,在,f,之下的象，或者叫做,映射,f,的象,.,例 令,那么,.,设 ，都是,A,到,B,的映射，如果对于每一,x,，都有 ，那么就说映射,f,与,g,是,相等,的,.,记作,设 是,A,到,B,的一个映射，是,B,到,C,的一个映射,.,那么对于每一个 ，是,C,中的一个元素,.,因此，对于每一 ，就有,C,中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到,A,到,C,的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为,f,与,g,的合成（乘积），记作,.,于是有,对于一切,f,与,g,的合成可以用下面的图示意：,f,g,A,B,C,三、映射的合成,设给映射 ，有,.,设,A,，,B,是两个非空集合，用 和 表示,A,和,B,的恒等映射,.,设 是,A,到,B,的一个映射,.,显然有：,，,.,设,A,是非空集合,，称为,A,上的 恒等映射。,但是，一般情况下,四 单射、满射、双射,定义,2,设,f,是,A,到,B,的一个映射，如果,那么说,称,f,是,A,到,B,上的一个映射，这时也称,f,是一个满映射，简称满射,.,是满射必要且只要对于,B,中的每一元素,y,，都有,A,中元素,x,使得,.,关于映射，只要求对于,A,中的每一个元素,x,，有,B,中的一个唯一确定的元素,y,与它对应，但是,A,中不同的元素可以有相同的象,.,定义,3,设 是一个映射，如果对于,A,中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称,f,是,A,到,B,的一个单映射，简称单射,.,定义,3,：,如果,f,既是满射，又是单射，即如果,f,满足下面两个条件,:,对于一切 ，那么就称,f,是,A,到,B,的一个双射或一一映射。,定理,1.2.1,令 是集合,A,到,B,的一个映射,.,那么以下两个条件是等价的：,f,是一个双射；,存在,B,到,A,的一个映射,g,，使得,，,再者，当条件成立时，映射,g,是由,f,唯一确 定的,.,一个有限集合,A,到自身的双射叫做,A,的一个置换,.,1.3,数学归纳法,内容分布,最小数原理,数学归纳法的依据,教学目的,掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。,重点、难点,最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。,一、最小数原理,数学归纳法的理论依据,最小数原理（正整数的,一个最基本的性质,）,.,最小数原理,正整数集 的任意一个非空子集,S,必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有,.,其中 表示全体正整数 的集合,.,1,最小数原理并不是对于任意数集都成立的,2,设,c,是任意一个整数，令,注意,那么其代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立,.,也就是说，的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，,N,的任意一个非空了集必含有一个最小数,.,二、数学归纳法原理,定理,1.3.1,（数学归纳法原理）设有一个与正整数,n,有关的命题,.,如果,当,n=1,时,.,命题成立；,假设当,n=k,时命题成立，当,n=k+1,时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数,n,都成立,.,证,设命题不对一切正整数都成立,.,令,S,表示使命题不成立的正整数所成的集合,.,那么,.,于是，由最小数原理，,S,中有最小数,h,.,因为命题对于,n=1,成立，所以 从而,h-1,是一个正整数,.,因为,h,是,S,中最小的数，所以,.,这就是说当,n=h-1,时，命题成立,.,于是由，当,n=h,时命题也成立,.,因此,.,这就导致矛盾,.,定理,1.3.2,（第二数学归纳法）设有一个与正整数,n,有关的命题,.,如果,当,n=1,时命题成立；,假设命题对于一切小于,k,的自然数来说成立，则命题对于,k,也成立；,那么命题对于一切自然数,n,来说都成立,.,1.4,整数的一些整除性质,一、内容分布,整除与带余除法,最大公因数,互素,素数的简单性质,二、教学目的,1.,理解和掌握整除及其性质。,2.,掌握最大公因数性质、求法。,3.,理解互素、素数的简单性质。,三、重点、难点,整除、最大公因数性质、互素有关的证明。,一、整除与带余除法,设,a,，,b,是两个整数，如果存在一个整数,d,，使得,b=ad,，那么就说,a,整除,b,（或者说,b,被,a,整除）。用符号,a,|,b,表示,a,整除,b,。这时,a,叫作,b,的一个因数，而,b,叫做,a,的一个倍数。如果,a,不整除,b,，那么就记作,.,每一个整数都可以被,1,和,-1,整除。,每一个整数,a,都可以被它自己和它的相反数,-a,整除,定理,1.4.1,（带余除法）设,a,，,b,是整数且 ，那么存在一对整数,q,和,r,，使得,满足以上条件整数,q,和,r,的唯一确定的。,证,令 。因为 ，所以,S,是,N,的一个非空子集。根据最小数定理（对于,N,），,S,含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得,r=b-aq,是,S,中最小数。于是,b=aq+r,，并且 。如果 ，那么 ，而,所以 。这是与,r,是,S,中最小数的事实矛盾。因此,.,假设还 ，使得,于是就有 。如果 那么,由此或者 ，或者 。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而 ，也就是说,二、最大公因数,设,a,，,b,是两个整数，满足下列条件的整数,d,叫作,a,与,b,的,最大公因数：,；,。,如果,一般地，设 是,n,个整数。满足下列条件的整数,d,叫做 的一个最大公因数：,定理,1.4.2,任意 个整数 都有最大公因数。如果,d,是 的一个最大公因数，那么,-d,也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号。,现证，任意,n,个整数 有最大公因数。如果,果,，那么,0,显然就是 的最大公因数。,I,显然不是空集，因为对于每一个,i,证,由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。,设 不全为零，考虑,Z,的子集,又因为 不全为零，所以,I,含有非零整数。因此,是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有一个最小数,d,.,下证明，,d,就是 的一个最大公因数。,首先，因为 ，所以,d,0,并且,d,有形式,又由带余除法，有,定理,1.4.3,设,d,是 的一个最大公因数。那么存在整数 ，使得 。,如果某一 ，如 ，那么,而 。这与,d,是 中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有 ，即 。,另一方面，如果 。那么 。这就证明,了,d,是 的一个最大公因数。,三、互素的定义及其性质,设,a,b,是两个整数，如果（,a,b,）,=1,，那么就说,a,与,b,互素。,一般地，是,n,个整数，如果 ，那么就说,这,n,个整数 互素。,（,1,）,定理,1.4.4,n,个整数 互素的充分且必要条件是存在整数 ，使得,证,如果 互素，那么由定理,1.4.2,立即得到等式（,1,）成立。反过来，设等式（,1,）成立。令 那么,c,能整除（,1,）式中的左端。所以,c,|1,，因此,c,=1,即,。,四、素数的定义及其简单性质,定义,一个正整数,p,1,叫作一个素数，如果除,1,和,p,外，没有其它因数。,定理,1.4.5,一个素数如果整除两个整数,a,与,b,的乘积，那么它至少整除,a,与,b,中的一个。,证,设,p,是一个素数，如果,p,|,ab,，但 ，由上面所指出的素数的性质，必定有,（,p,a,）,=,1,。于是由定理,1.4.4,，存在整数,s,和,t,使得,sp+ta=,1,两边同乘以,b,：,spb+tab=b,.,左边的第一项自然能被,p,整除；又因为,p,|,ab,，所以左边第二项也能被,p,整除。于是,p,整除左边两项的和，从而,p,|,b,.,1.5,数环和数域,定义,1,：设,S,是复数集,C,的一个非空子集，如果对于,S,中任意两个数,a,b,来说，,a+b,a,b,ab,都在,S,内，那么就称,S,是一个数环。,例,1,取定一个整数,a,，令 那么,S,是一个数环。,如取,a=2,，那么,S,就是全体偶数所组成的数环。,一、,数环和数域的定义,证明：,S,显然不是空集。设 ，那么,所以,S,是一个数环。,定义,2,设,F,是一个数环，如果,F,含有一个不等于零的数；,如果，,那么就称,F,是一个数域。,例,2,令,.,证明,S,是数环,证明：,S,显然不是空集，设 ，那么,所以,S,是一个数环。,例,3,令 ，则,F,是一个数域。,这就证明了,F,是一个数域。,证明：,易知,F,是一个数环，并且 ，所以成立。,现设 ，,那么 ，,否则当,d=0,时，,c=0,，这与 矛盾；,当 的时，,矛盾。因此,二、数环与数域的性质,1.,任何数环都含有数零；,2.,任何数域都含有数零和数,1,；,3.,两个数环的交还是数环；,4.,两个数域的交还是数域；,4.,定理,1.5.1,任何数域都包含有理数域,Q,。,证,设,F,是一个数域。那么由条件，,F,含有一个不等于,0,的数,a,，再由条件，。用,1,和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于,F,。另一方面，所以,F,也含有,0,与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为,F,含有全体整数。这样，,F,也含有用意两个整数的商（分母不为,0,），因而，,F,含有一切有理数。,