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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,象大师一样猜想,广东省佛山市澜石中学,张美彩,课题猜想、证明、拓广,象大师一样猜想广东省佛山市澜石中学 课题猜想、证明、,观察下列等式，猜想一个含,n,（,n,1),的等,式。,观察下列等式，猜想一个含n（n1)的等式。,猜想是点燃思维的火花,关于歌德巴赫猜想,当年歌德巴赫提出了一条,猜想：任何大于,2,的偶数都能分成两个素数之和。,1973,年，中国数学家陈景润刻苦证明了“,1+2”,，就是充分大的偶数，都可表示成两个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。这个证明结果被称为“陈氏定理”，是至今为止，歌德巴赫猜想的最高记录,.,最后要证明的是,“,1+1”,，至今未获证。,猜想是点燃思维的火花 关于歌德巴赫猜想,猜想是点燃思维的火花,费马猜想，已成功获证,1637,年，法国数学家费马猜想：,当,n 2,时，不定方程,x,n,+y,n,=z,n,没有,xyz0,的整数解。,这称费马猜想（,Fermats conjecture,）又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一。,1995,年由英国一位数学家证明了猜想是正确。,猜想是点燃思维的火花 费马猜想，已成功获证,费马数猜想：大师的失误,1640,年，费马思考了一个问题：的值是否一定为素数。当,n,取,0,、,1,、,2,、,3,、,4,时，这个式子对应值分别为,3,、,5,、,17,、,257,、,65537,，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个,猜想：形如 的数（后人称之为费马数,F,n,）一定为素数。,因为随着,n,的增大，,F,n,迅速增大，因此进一步验证费马的猜想并不容易。,1732,年，数学家欧拉在费马死后,67,年得出当,n=5,时 是一个合数，因此证明费马的猜想是错的。,猜想是点燃思维的火花,费马数猜想,问题,1,：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的,2,倍？,验证：,边长,周长,面积,已知正方形,1,4,1,所求正方形,8,2,问题1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和,问题,1,：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的,2,倍？,证明：,设已知正方形的边长为,a,，则周长为,4,a,，面积为,a,2,。,若存在这样的正方形，则它的周长为,8a,，面积为,2,a,2,。边长为,x,.,则有,由（,1,）得,x=2a,代入（,2,）得（,2,a,),2,=2,a,2,即,4,a,2,=2,a,2,因为,a,0,，所以上式不能成立。所以不存在这样的正方形。,问题1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和,问题,1,：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的,2,倍？,得出结论,：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的,2,倍。,【,小结,】,解决问题的过程是：问题,猜想,验证,发现规律,证明,得出结论,拓广,问题1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和,拓广：,问题,2,：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的,2,倍？,验证：,分小组对同一种情况进行验证。如已知矩形的长和宽分别为,2,、,1,或,3,、,1,或,4,、,1,或,3,、,2,等等，小组可任意选择或自行取值。,拓广：验证：分小组对同一种情况进行验证,【,第,1,组,】,如果已知矩形的长和宽分别为,2,和,1,，结论会怎样？,方法一：（用方程、方程组）,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,长,宽,周长,面积,已知矩形,2,1,6,2,所求矩形,12,4,x,y,则有,解得,方程组的解均为正数，,存在这样的矩形。,【第1组】如果已知矩形的长和宽分别为2和1，结论会怎样？方,【,第,2,组,】,如果已知矩形的长和宽分别为,3,和,1,，结论会怎样？,（用方程、方程组）,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,则有,解得,方程组的解均为正数，,存在这样的矩形。,长,宽,周长,面积,已知矩形,3,1,8,3,所求矩形,x,y,16,6,【第2组】如果已知矩形的长和宽分别为3和1，结论会怎样？（,【,第,3,组,】,如果已知矩形的长和宽分别为,4,和,1,，结论会怎样？,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,则有,解得,方程组的解均为正数，,存在这样的矩形。,长,宽,周长,面积,已知矩形,4,1,10,4,所求矩形,x,y,20,8,【第3组】如果已知矩形的长和宽分别为4和1，结论会怎样？解,【,第,4,组,】,如果已知矩形的长和宽分别为,5,和,1,，结论会怎样？,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,则有,解得,方程组的解均为正数，,存在这样的矩形。,长,宽,周长,面积,已知矩形,5,1,12,5,所求矩形,x,y,24,10,【第4组】如果已知矩形的长和宽分别为5和1，结论会怎样？解,【,第,1,组,】,如果已知矩形的长和宽分别为,2,和,1,，结论会怎样？,方法二：（用函数方法）,因为,满足,“,加倍,”,要求的,(,x,y,),就可以看做一次函数,y,=,x,+6,与反比例函数 的图象在第一象限内交点的坐标。,【第1组】如果已知矩形的长和宽分别为2和1，结论会怎样？方,由,图,中得,:,这样的交点存在，所以满足要求的矩形是存在的。,由图中得:这样的交点存在，所以满足要求的矩形是存在的,【,猜测,】,如果已知矩形的长和宽分别为,n,和,1,，结论会怎样？,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,则有,解得,方程组的解均为正数，,存在这样的矩形。,长,宽,周长,面积,已知矩形,n,1,2(n+1),n,所求矩形,x,y,4(n+1),2n,【猜测】如果已知矩形的长和宽分别为n和1，结论会怎样？解：,更一般地，当已知矩形的长和宽分别为,n,和,m,时，是否仍然有相同的结论？,解：若存在这样的矩形。设它的长和宽分别为,x,y,则有,由（,1,）得,y=2n+2m,x,代入（,2,）得,更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的,方程组的解为,显然,0 ,方程组的解有意义,存在这样的矩形。,方程组的解为 显然,下结论：,任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它,的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的,2,倍。,请谈谈本节课你有什么收获？,解决问题的过程是：,问题,猜想,验证,发现规律,证明,得出结论,拓广,下结论：请谈谈本节课你有什么收获？解决问题的过程是：,作业：,请写出你解决下面的问题,3,的全过程：,任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？,作业：,
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