离散型随机变量的期望一

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,设离散型随机变量 可能取的值为,为随机变量 的,概率分布列,，简称为 的,分布列,.,取每一个值 的概率 则称表,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律,.,但在实际应用中，我们还常常希望,直接通过数字,来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有,期望与方差,.,复习引入,思考下面的问题,:,4,5,6,7,8,9,10,0.02,0.04,0.06,0.09,0.28,0.29,0.22,某射手射击所得环数,的分布列如下：,在,100,次射击之前,试估计该射手,100,次射击的平均环数,.,分析：平均环数,=,总环数,100,所以,总环数约等于,（,40.02+50.04+60.06+,+100.22)100,.,故,100,次射击的平均环数约等于,40.02+50.04+60.06+,+100.22=8.32.,一般地，随机变量,的概率分布列为,则称,为 的,数学期望,或均值，简称为,期望,.,它,反映了离散型随机变量取值的平均水平,.,结论,1,：则,;,结论,2,：若,B,(,n,，,p,),，则,E,=,np.,一、数学期望的定义,:,结论,3:,若随机变量,服从几何分布，则,E=1/p,所以，的分布列为,结论,1,：则,E,=0C,n,0,p,0,q,n,+1C,n,1,p,1,q,n-1,+2C,n,2,p,2,q,n-2,+,+,k,C,n,k,p,k,q,n-k,+,n,C,n,n,p,n,q,0,P,(=,k,)=C,n,k,p,k,q,n-k,证明：,=,np,(C,n-1,0,p,0,q,n-1,+C,n-1,1,p,1,q,n-2,+,C,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),+C,n-1,n-1,p,n-1,q,0,),=,np,(,p,+,q,),n-1,=,np,0,1,k,n,P,C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1,C,n,k,p,k,q,n-k,C,n,n,p,n,q,0,(,k,C,n,k,=,n,C,n-1,k-1,),结论,2,：若,B,(,n,，,p,),，则,E,=,np,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,(2),若,=2+1,，则,E=,.,5.8,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E=7.5,则,a,=,b,=,.,0.4,0.1,3.,（,1,）若,E()=,4.5,则,E(,)=,.,（,2,）,E(,E)=,.,-4.5,0,例,1,：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分，已知某运动员罚球命中的概率为,0.7,求他罚球,1,次的得分,的期望。,例,2,：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数,的期望。,例,3,：有一批数量很大的产品，其次品率是,15,.,对这批产品进行抽查，每次抽出,1,件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过,10,次,.,求抽查次数,的期望（结果保留三个有效数字）,.,注：若随机变量,X,服从两点分布,则,EX=p,练习：两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数,1,，,2,的分布列是,1,0,1,2,3,P,0.4,0.3,0.2,0.1,2,0,1,2,3,P,0.3,0.5,0.2,0,如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是,90,分,例,4.,一次单元测验由,20,个选择题构成,每个选择题有,4,个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得,5,分,不选或选错不得分,满分,100,分,.,学生甲选对任一题的概率为,0.9,学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个,.,求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值,.,解,:,设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是,和,则,B(20,0.9),B(20,0.25),，,所以,E,200.9,18,，,E,200.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是,5,和,5.,这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5),5E,518,90,，,E(5),5E,55,25,思考,:,学生甲在这次测试中的成绩一定会是,90,分吗,?,他的均值为,90,分的含义是什么,?,例,5(06,广东高考,),某运动员射击一次所得环数,X,的分布如下：,X,06,7,8,9,10,P,0,0.2,0.3,0.3,0.2,现进行两次射击，以该运动员两次射击中的最高环数作为他的成绩，记为,.,(1),求该运动员两次都命中,7,环的概率,;,(2),求,的分布列,;,(3),求,的数学期望,.,练习,.,某商场的促销决策：,统计资料表明，每年端午节,商场内,促销活动可获利,2,万元；,商场外,促销活动如不遇下雨可获利,10,万元；如遇下雨可则损失,4,万元。,6,月,19,日气象预报端午节下雨的概率为,40%,，商场应选择哪种促销方式？,解,:,因为商场内的促销活动可获效益,2,万元,设商场外的促销活动可获效益,万元,则,的分布列,P,10,4,0.6,0.4,所以,E,=100.6,(-4)0.4=4.4,因为,4.42,所以商场应选择在商场外进行促销,.,