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,第十章,指点迷津,(,四,),破解审题难关,#,指点迷津,(,四,),破解审题难关,-,2,-,破解审题难关,概率统计综合问题是高考应用型问题,解决问题需要经历收集数据、整理数据、分析数据、处理数据、得出有用的结论几个复杂过程,.,如果这几个过程书写步骤缺失则会造成丢分,;,如果数据处理不当则会陷入庞大的数据运算中,因此解决这类问题首先需要根据题目条件提取有用数据,然后根据统计思想对数据进行相关处理、运算,正确建立恰当的模型,并按照一定的书写步骤准确无误书写出来,做到步骤不缺失、表述准确无误,学生在解答统计案例的时候,往往出现因审题不清不能建立适当的模型,或找不到解题的切入点,甚至不会求解问题,.,那么如何建立数学模型,?,下面就审题技巧问题给出五类题型,来展示如何根据题目所给出数据,或采集的数据画出散点图,或利用整体代换,构造熟悉的线性回归模型,从而达到解题目的,.,-,3,-,类型一,与频率分布直方图有关的题型的审题技巧,例,1,(2019,河北秦皇岛一模,19),某市居民用水拟实行阶梯水价,.,每人月用水量中不超过,w,立方米的部分按,4,元,/,立方米收费,超出,w,立方米的部分按,10,元,/,立方米收费,.,从该市随机调查了,10 000,位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,:,(1),如果,w,为整数,那么根据此次调查,为使,80%,以上居民在该月的用水价格为,4,元,/,立方米,w,至少定为多少,?,(2),假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当,w=,3,时,估计该市居民该月的人均水费,.,-,4,-,审题通关,题中第,(1),步,求,80%,以上的居民在该月的用水价格为,4,元,/,立方米,找频率和为,80%,所在的区间的位置,;,由频率直方图各用水量在区间的频率,找出从,0,.,5,立方米到各界点的频率和,80%,的频率在哪个区间上,然后求解,.,题中第,(2),步,求市居民该月的人均水费,需求各区间的频率,;,已知频率直方图求得各区间频率,列出频率分布表,;,由同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,由不超过,w,立方米的部分按,4,元,/,立方米收费,超出,w,立方米的部分按,10,元,/,立方米收费,-,5,-,解,:,(1),由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间,0,.,5,1,(1,1,.,5,(1,.,5,2,(2,2,.,5,(2,.,5,3,内的频率依次为,0,.,1,0,.,15,0,.,2,0,.,25,0,.,15,.,所以该月用水量不超过,3,立方米的居民占,85%,用水量不超过,2,立方米的居民占,45%,.,依题意,w,至少定为,3,.,(2),由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表,:,根据题意,该市居民该月的人均水费估计为,:0,.,1,4,+,0,.,15,6,+,0,.,2,8,+,0,.,25,10,+,0,.,15,12,+,0,.,05,17,+,0,.,05,22,+,0,.,05,27,=,10,.,5(,元,),.,-,6,-,解题指导,过图表关,.,审图表、明数据,能从所给图表中正确提取解题所需要的信息来攻克审题问题,频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依托,掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决这类问题的关键,常见的提取方法有,:,(2),频率比,:,频率分布直方图中各小长方形的面积之和为,1,因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比,从而根据已知的几组数据个数比求有关值,;,(3),众数,:,最高小长方形底边中点的横坐标,;,-,7,-,(4),中位数,:,平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标,;,(5),平均数,:,频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和,;,(6),性质应用,:,若纵轴上存在参数值,则根据所有小长方形的高之,-,8,-,类型二,与茎叶图有关的题型的审题技巧,例,2,如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各,4,名同学的植树棵数,.,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以,X,表示,.,(,1),如果,X=,8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差,;,-,9,-,审题通关,本题第,(1),步,已知茎叶图求特征数字的值,由茎叶图把,X=,8,代入,读出甲、乙两组数据,利用平均数和方差的定义公式求解,;,第,(2),步,求两名同学的植树总棵数为,19,的概率,即求两个同学植树数目和为,19,的概率,.,由茎叶图把,X=,9,代入,读出甲、乙两组数据,;,从甲、乙两组中随机各选取一名同学,把甲、乙两组同学的植树数用字母代替,每组取一个字母组成组合列举出来,.,把植树和为,19,的情况数出来,代入古典概型的概率公式求解,.,-,10,-,(2),设甲组,4,名同学分别为,x,1,x,2,x,3,x,4,植树棵数分别为,9,9,11,11,乙组,4,名同学分别为,y,1,y,2,y,3,y,4,植树棵数分别为,9,8,9,10,.,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有,(,x,1,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,1,y,3,),(,x,1,y,4,),(,x,2,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,2,y,3,),(,x,2,y,4,),(,x,3,y,1,),(,x,3,y,2,),(,x,3,y,3,),(,x,3,y,4,),(,x,4,y,1,),(,x,4,y,2,),(,x,4,y,3,),(,x,4,y,4,),共,16,种,.,设,“,选出的两名同学的植树总棵数为,19”,为事件,A,则事件,A,包含的结果,有,-,11,-,解题指导,过文字关,:,抓关键语句,破干扰信息会转换信息,.,对于茎叶图提供的具体的数据,找准各组数据共同的茎及各自的叶是处理此类问题的关键,.,如果所有数据过大,在计算平均数时,可以将所有数据同时减去一个数字再计算,减去一个数后方差不变,另外除了要掌握各类数据的计算方法以外,还要能从提供的数据的趋势分析预测结果,.,茎叶图数据很具体,常联系古典概型进行考查,此时则需建模古典概型模型,根据所给定的条件进行计数求解,.,-,12,-,类型三,与柱状图有关的审题技巧,例,3,(2019,山东济宁模拟,19),某公司计划购买,1,台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,.,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个,200,元,.,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个,500,元,.,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了,100,台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图,.,-,13,-,记,x,表示,1,台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y,表示,1,台机器在购买易损零件上所需的费用,(,单位,:,元,),n,表示购机的同时购买的易损零件数,.,(1),若,n=,19,求,y,与,x,的函数解析式,;,(2),若要求,“,需更换的易损零件数不大于,n,”,的频率不小于,0,.,5,求,n,的最小值,;,(3),假设这,100,台机器在购机的同时每台都购买,19,个易损零件,或每台都购买,20,个易损零件,分别计算这,100,台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买,1,台机器的同时应购买,19,个还是,20,个易损零件,?,-,14,-,审题通关,本题第,(1),步,求,y,与,x,的函数解析式,则需根据题意,建立函数模型,.,由额外购买零件作备件,每个,200,元,备件不足再购买,则每个,500,元备件充足便宜,不足费用加大,过量备件浪费,;,n,表示购机的同时购买的易损零件数,若,n=,19,不足,19,件每件,200,元,多于,19,件的部分每件,500,元,;,x,表示,1,台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y,表示,1,台机器在购买易损零件上所需的费用,结合,成,分段函数形式,.,第,(2),步确定,“,需更换的易损零件数不大于,n,”,的频率不小于,0,.,5,的,n,的最小值,就是求复合,“,更换的易损零件数不大于,n,”,-,15,-,的事件的频率和大于等于,0,.,5,.,由柱状图信息更换零件数目及该数目对应的频数,列出频率分布表,;,由频率分布表,确定频率和比,0,.,5,大和频率和比,0,.,5,小的更换零件频数,根据省钱原则,把第一个大于,0,.,5,的频数作为,n,值最小值,.,第,(3),步已知购机时购买,19,个备用件或购买,20,个备用件,求,100,台机器在柱状图情形下,所需费用的平均数,并根据平均数下决策,实质就是求,n=,19,和,n=,20,100,件机器购置更换易损件所需的费用,.,不足,19,件每件,200,元,多于,19,件的部分每件,500,元,若都购买,19,个易损零件,根据柱状图,购置,100,台机器每台都买,19,个备用件,所需费用,100,19,200;,更换零件数为,20,有,20,台机器,每台多买,1,个,所需费用为,20,500;,更换零件数为,21,有,10,台机器,每台多买,1,个,所需费用为,10,500;,由所需费用的平均数,-,16,-,-,17,-,-,18,-,解题指导,过建模关,:,从所给图表中正确提取解题所需要的信息,根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化,建立数学模型,.,解决此类问题要注意与频率分布直方图的区别,其组距是一个常数,高表示频数,其本质是分段函数,.,审题时要抓住频率分布图的横、纵坐标的含义及与频率分布表的关系,理解题目条件的含义,然后转化为数学问题利用统计知识来求解,.,-,19,-,类型四,与频率分布表和独立性检验有关的审题技巧,例,4,某城市随机抽取一年内,100,天的空气质量指数,(AQI),的监测数据,结果统计如下,:,-,20,-,(2),若本次抽取的样本数据有,30,天是在供暖季,其中有,8,天为严重污染,.,根据提供的统计数据,完成下面的,2,2,列联表,并判断是否有,95%,的把握认为,“,该城市本年的空气严重污染与供暖有关,”?,-,21,-,审题通关,1,.,根据频率分布表得出各个区间的频数,本题第,(1),步,通过经济损失,y,(,单位,:,元,),与空气质量指数,x,的关系式,0,x,100,时,y,为,0;100,300,时,y=,2,000;,若一天的经济损失超过,400,元,4,x-,400,400,得到,x,200;,由空气质量指数,x,200,通过频率分布表找出空气质量指数大于,200,的频数,代入古典概型概率公式求概率,.,2,.,本题第,(2),步,本次抽取的样本数据有,30,天是在供暖季,其中有,8,天为严重污染,求出非严重污染的天数,;,通过列联表提示数据总天数为,100,由非供暖季的天数,严重污染共有,15,天,求出非供暖季严重污染的天数,非供暖季非严重污染的天数,根据列联表得到相应数据,;,代入,2,公式,求出,2,值,根据独立检验概率比对参照表,下结论,.,-,22,-,解,:,(1),记,“,在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过,400,元,”,为事件,A.,由,y,400,得,x,200,.,由统计数据可知,空气质量指数大于,200,的频数为,35,(,2),根据题设中的数据得到如下,2,2,列联表,:,将,2,2,列联表中的数据代入公式计算,得,因为,4,.,575,3,.,841,所以有,95%,的把握认为,“,该城市本年的空气严重污染与供暖有关,”,.,-,23,-,解题指导,过逻辑推理关,:,根据上下文条件的联系,逐步推导解决问题需要的条件,.,处理频率分布表的数据的关键是搞清表格中各行、各列数的意义,特别地,表格中最后一行或最后一行中的数据多为合计,(,或总计,),.,然后根据已知条件,逐步推导题目要求所需条件,审题
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