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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1-3,.,1.2,空间向量及其加减与数乘运算,平面向量,空间向量,具有大小和方向的量,具有大小和方向的量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,字母表示法,向量的大小,向量的大小,长度为零的向量,长度为零的向量,模为,1,的向量,模为,1,的向量,长度相等且方向,相反的向量,长度相等且方向,相反的向量,长度相等且方向相同 的向量,长度相等且方向相同的向量,定义,表示法,向量的模,零向量,单位向量,相反向量,相等向量,一：空间向量的基本概念,a,b,a,b,O,A,B,b,结论,：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，,成为同一平面内的两个向量。,思考：,空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？,O,说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,2.,凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。,加法交换律,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,减法,:,三角形法则,加法结合律,例如,:,三、空间向量的数乘运算,四、空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a,+,b,=,b,+,a,；,加法结合律：,(,a,+,b,),+c,=,a,+(,b,+,c,),；,a,b,c,a,+,b+c,a,b,c,a,+,b+c,a,+,b,b+c,（,3,）,.,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,五、共线向量,:,零向量与任意向量共线,.,1.,空间共线向量,:,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,2.,空间共线向量定理,:,对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,中点公式：,若,P,为,AB,中点,则,O,A,B,P,3.A,、,B,、,P,三点共线的充要条件,A,、,B,、,P,三点共线,六、共面向量,:,1.,共面向量,:,平行于同一平面的向量,叫做共面向量,.,注意：,空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,d,b,a,c,由平面向量基本定理知，如果 ，,是平面内的两个不共线的向量，那么,对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使,如果空间向量 与两不共线向量 ，共,面，那么可将三个向量平移到同一平面，则,有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如果 ，那么向量 与向量,有什么位,置关系？,C,2.,共面向量定理,：如果两个向量,，,不共线,，,则向量 与向量 ，共面的充要,条件是,存在实数对,x,y,使,C,3.,空间四点,P,、,A,、,B,、,C,共面,实数对,例,1,、给出以下命题：,（,1,）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；,（,2,）若空间向量 满足 ，则 ；,（,3,）在正方体 中，必有 ；,（,4,）若空间向量 满足 ，则 ；,（,5,）空间中任意两个单位向量必相等。,其中不正确命题的个数是（）,A.1 B.2 C.3 D.4,C,A,B,C,D,A,B,C,D,例,2,解：,A,B,C,D,A,B,C,D,设,M,是线段,CC,的中点，则,解：,A,B,C,D,A,B,C,D,M,设,G,是线段,AC,靠近点,A,的,三等分点，则,G,A,B,C,D,A,B,C,D,M,解：,例,3,：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,例,3,：已知平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,例,3,：已知平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,解：,例,3,：已知平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,解：,1.,下列命题中正确的有：,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,例,4:,B,2.,对于空间中的三个向量,它们一定是：,A.,共面向量,B.,共线向量,C.,不共面向量,D.,既不共线又不共面向量,A,3.,已知点,M,在平面,ABC,内，并且对空间任,意一点,O,，,则,x,的值为：,D,4.,已知,A,、,B,、,C,三点不共线，对平面外一点,O,，在下列条件下，点,P,是否与,A,、,B,、,C,共面？,例,5.,如图，已知平行四边形,ABCD,，过平,面,AC,外一点,O,作射线,OA,、,OB,、,OC,、,OD,，在四条射线上分别取点,E,、,F,、,G,、,H,，并且使,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,EG/,平面,AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,例,5(,课本例,),已知,ABCD,，从平面,AC,外一点,O,引向量,求证：四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,AC,/,平面,EG.,证明：,四边形,ABCD,为,（,）,（,）代入,所以,E,、,F,、,G,、,H,共面。,例,5,已知,ABCD,，从平面,AC,外一点,O,引向量,求证：四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,AC,/,平面,EG,。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,由知,共线向量,共面向量,定义,向量所在直线互相平行或重合,平行于同一平面的向量,叫做共面向量,.,定理,推论,运用,判断三点共线，或两直线平行,判断四点共面，或直线平行于平面,小结,共面,
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