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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,21.2.3 因式分解法,回顾与复习,1,温故而知新,1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?,2.什么叫分解因式?,把一个多项式分解成几个,整式乘积,的形式叫做分解因式.,直接开平方法,配方法,x,2,=a(a0),(x+m),2,=n(n0),公式法,分解因式,的方法有那些?,1提取公因式法:,2公式法:,3十字相乘法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a,2,-b,2,=(a+b)(a-b),a,2,2ab+b,2,=(ab),2,.,x,2,+(a+b)x+ab=,(x+a)(x+b).,回顾与复习,2,实际问题,根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度单位：m为,设物体,经过,x,s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即,根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？精确到 0.01 s,提示,解：,配方法,公式法,解：,a,=4.9，,b,=10，,c,=0,b,2,4,ac,=(,10),2,44.90=100,因式分解,如果,a,b,=0，那么,a,=0或,b,=0。,两个因式乘积为 0，说明什么,或,降次，化为两个一次方程,解两个一次方程，得出原方程的根,这种解法是不是很简单？,探究,可以发现，上述解法中，由,到,的过程，不是用开方降次,，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0,的形式，再使这两个一次式分别等于,0,，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法,以上解方程,的方法是如何使二次方程降为一次的？,讨,论,讨论,以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?,可以发现,上述解法中,由到的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做,因式分解法,.,提示:,1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;,2.关键是熟练掌握因式分解的知识;,3.理论依旧是“ab=0,那么a=0或b=0,分解因式法解一元二次方程的步骤是,:,2.将方程,左边,因式分解为,A,B,;,3.根据“ab=0,那么a=0或b=0,转化为两个一元一次方程.,4.分别解这,两个,一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,1.将方程,右边等于0,;,可以试用多种方法解本例中的两个方程,.,例3 解以下方程：,解：1因式分解，得,于是得,x,20或,x,1=0,x,1,=2，,x,2,=1.,(2),移项、合并同类项，得,因式分解，得,(2,x,1)(2,x,1)=0.,于是得,2,x,1=0或2,x,1=0,(,x,2)(,x,1)=0.,可以试用多种方法解本例中的两个方程,.,1.解以下方程：,解,：因式分解，得,1 x2+x=0,x,(,x,+1)=0.,得,x,=0 或,x,+1=0，,x,1,=0 ,x,2,=1.,解,：因式分解，得,练习,解,：化为一般式为,因式分解，得,x,2,2,x,+1=0.,(,x,1)(,x,1)=0.,有,x,1=0 或,x,1=0，,x,1,=,x,2,=1.,解,：因式分解，得,(2,x,+11)(2,x,11)=0.,有 2,x,+11=0 或 2,x,11=0，,解,：化为一般式为,因式分解，得,6,x,2,x,2=0.,(3,x,2)(2,x,+1)=0.,有 3,x,2=0 或 2,x,+1=0，,解,：变形有,因式分解，得,(,x,4),2,(5 2,x,),2,=0.,(,x,4 5+2,x,)(,x,4+5 2,x,)=0.,(3,x,9)(1,x,)=0.,有 3,x,9=0 或 1,x,=0，,x,1,=3 ,x,2,=1.,2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径,解：设小圆形场地的半径为,r,根据题意,(,r,+5),2,=2,r,2,.,因式分解，得,于是得,答：小圆形场地的半径是,分解因式法解一元二次方程的步骤是,:,1.将方程左边因式分解，右边等于0;,2.根据“至少有一个因式为零,转化为两个一元一次方程.,3.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,小结,:,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1.方程右边化为_。,2.将方程左边分解成两个_的乘积。,3.至少_因式为零，得到两个一元一次方程。,4.两个_就是原方程的根。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,AB=0,A、B 表示两个因式,A=0 或 B=0,课前练习,2,3x24=0,4(3x1)25=0,12x24x 2=0,12x24x 2=0,x,1,=,解：因式分解，得,2(,x,1),2,x,1=0,=0,或,x,2,=,1,x,1=0,分解因式,的方法有那些?,1提取公因式法:,2公式法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a,2,-b,2,=(a+b)(a-b),a,2,2ab+b,2,=(ab),2,.,2,解：移项，得,因式分解，得,x,2=0,或,3,x,5=0,x,1,=2,，,x,2,=,3x24=0,解：因式分解，得,(,x,2),x,2=0,x,1,=,2,，,(,x,2),=0,或,x,2=0,x,2,=2,4(3x1)25=0,=0,或,解：因式分解，得,你学过一元二次方程的哪些解法?,说一说,因式分解法,开平方法,配方法,公式法,你能说出每一种解法的特点吗?,方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如,x,2,=a,(a0),开平方法,1.,化1:,把二次项系数化为1,;,2.,移项:,把常数项移到方程的右边;,3.,配方,:,方程两边同加,一次项系数 一半的平方;,4.,变形:,化成,5.,开平方,，,求解,“配方法解方程的根本步骤,一除、二移、三配、四化、五解.,用,公式法,解一元二次方程的,前提,是:,公式法,1.必需是一般形式的一元二次方程:,ax,2,+bx+c=0(a0).,2.b,2,-4ac0.,1.用因式分解法的,条件,是:方程左边能够,分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论,依据,是:如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般,步骤,:,一移,-方程的右边=0;,二分,-方程的左边因式分解;,三化,-方程化为两个一元一次方程;,四解,-写出方程两个解;,请用四种方法解以下方程:,4(x1)2=(2x5)2,比一比,结论,先考虑开平方法,再用因式分解法;,最后才用公式法和配方法;,3.公式法,：,总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，假设看不出适宜的方法时，那么把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,x,2,-3x+1=0 3x,2,-1=0,-3t,2,+t=0 x,2,-4x=2,2x,2,x=0 5(m+2),2,=8,3y,2,-y-1=0 2x,2,+4x-1=0,(x-2),2,=2(x-2),适合运用直接开平方法,；,适合运用因式分解法,；,适合运用公式法,；,适合运用配方法,.,一般地，当一元二次方程一次项系数为0时ax2+c=0，应选用直接开平方法；,假设常数项为0 ax2+bx=0，应选用因式分解法；,假设一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；,不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。,我的发现,用最好的方法求解以下方程,1)3x-2-49=0,2)3x-4=4x-3,3)4y=1 y,选择适当的方法解以下方程:,谁最快,选用适当的方法解一元二次方程,1.解一元二次方程的方法有：,因式分解法,直接开平方法,公式法,配方法,5x,2,-3 x=0,3x,2,-2=0,x,2,-4x=6,2x,2,-x-3=0,2x,2,+7x-7=0,2.引例：给以下方程选择较简便的方法,运用因式分解法,运用直接开平方法,运用配方法,运用公式法,运用公式法,方程一边是0，另一边整式容易因式分解,()2=C C0,(化方程为一般式,二次项系数为1，而一次项系为偶数,公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法、“因式分解法等简单方法，假设不行，再考虑公式法适当也可考虑配方法,2、用适当方法解下列方程,-5x,2,-7x+6=0,2x,2,+7x-4=0,4(t+2 ),2,=3,x,2,+2x-9999=0,（5）3t(t+2)=2(t+2),小结：,ax,2,+c=0,=,ax,2,+bx=0 =,ax,2,+bx+c=0 =,因式分解法,公式法配方法,2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法、“因式分解法等简单方法，假设不行，再考虑公式法适当也可考虑配方法,3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，假设看不出适宜的方法时，那么把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,直接开平方法,因式分解法,解一元二次方程的方法,联系,方法的区别,适用范围,配方法,公式法,因式分解法,将二次方程化为一元方程,降次,先配方，再降次,直接利用求根公式,先使方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0,所有一元二次方程,所有一元二次方程,某些,知识要点,
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