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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.1,三角形,9.1.2,三角形的内角和与外角和,9.1 三角形9.1.2 三角形的内角和与外角和,1.,通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是,180,;,2.,会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数,;,（,重点、,难点）,3.,掌握三角形的外角的性质及外角和,.,重点、,难点）,学习目标,1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180;学习目,将三角形纸片分别按下面两种方法,进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？,导入新课,折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角,.,可以将,A,，,B,剪下并移至顶点,C,处拼接成一个角,.,A,B,C,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角,.,观察与思考,将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼,因为直线在平移下的像是与它平行的直线，,如图，将,ABC,的边,BC,所在的直线,平移，使其经过点,A,，得到直线,BC,.,所以,BCBC,.,则,，,所以,B,+,BAC,+,C,=180.,又,讲授新课,三角形的内角和,一,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明,.,因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，,由此得到：,三角形,的内角和等于,180.,你还能想出其它的方法推出这个结论吗？,由此得到：三角形的内角和等于180.你还能想出其它,多种方法证明的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角,.,C,A,B,1,2,3,4,5,l,A,C,B,1,2,3,4,5,l,P,6,m,A,B,C,D,E,多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个,例,1,在,ABC,中，,A,的度数是,B,的度数的,3,倍，,C,比,B,大,15,，求,A,，,B,，,C,的度数,.,解,:,设,B,为,x,，则,A,为,(3,x,),，,C,为,(,x,15),，从而有,3,x,x,(,x,15),180.,解得,x,33.,所以,3,x,99,，,x,15,48.,答：,A,，,B,，,C,的度数分别为,99,，,33,，,48,.,几何问题借助方程来解,.,这是一个重要的数学思想,.,典例精析,例1 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，,例,2,如图，在,ABC,中,，,BAC,=40,B,=75,AD,是,ABC,的角平分线，求,ADB,的度数,.,A,B,C,D,解,:,由,BAC,=40,，,AD,是,ABC,的角平分线，得,BAD,=,BAC,=20.,在,ABD,中，,ADB,=180-,B,-,BAD,=180-75-20,=85.,例2 如图，在ABC中，BAC=40,B=7,问题,1,在,ABC,中，若,C,=90,，你能求出,A,，,B,的度数吗？为什么？你能求出,A,+,B,的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？,A,B,C,直角三角形的两个锐角互余,应用格式：,在直角,ABC,中，,C,=90,，,A,+,B,=90,直角三角形的内角性质,二,直角三角形可以用符号“,Rt,”,表示，直角三角形,ABC,可以写成,Rt,ABC,问题1在ABC 中，若C=90，你能求出A，B,例,3,如图，,C,=,D,=90,AD,BC,相交于点,E,.,CAE,与,DBE,有什么关系？为什么？,A,B,C,D,E,解：在,Rt,ACE,中，,CAE,=90-,AEC.,在,Rt,BDE,中，,DBE,=90-,BED.,AEC,=,BED,，,CAE,=,DBE,.,例3 如图，C=D=90,AD,BC相交于点E.,问题,1,在图中，外角,ACD,与它不相邻的内角,A,，,B,之间有什么大小关系？,我觉得可以利用“三角形的内角和等于,180”,的结论,.,三角形的外角的性质,三,问题1在图中，外角ACD与它不相邻的内角A，B之间有,因为,ACD,+,ACB,=180,，,A,+,B,+,ACB,=180,，,所以,ACD,-,A,-,B,=0,（等量减等量，差相等）,于是,ACD,=,A,+,B,.,1.,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,由此得到：,2.,三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角,.,因为ACD+ACB=180，所以ACD-A,如图，,CAD,=100,，,B,=30,，,求,C,的度数,.,解：因为,B+,C=,CAD,，,所以,C=,CAD-,B,，,所以,C,=,100-30=70,.,做一做,如图，CAD=100，B=30，求C 的度数.解：,问题,2,如图,，,BAE,CBF,ACD,是,ABC,的三个外角，它们的和是多少？,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得,BAE,=,2+,3,，,CBF,=,1+,3,ACD,=,1+,2.,又知,1+,2+,3=180,，,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=2(,1+,2+,3)=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,你还有其他解法吗？,问题2如图，BAE,CBF,ACD是ABC的,方法二：如图，,BAE,+,1=180 ,，,CBF,+,2=180 ,，,ACD,+,3=180 ,，,又知,1+,2+,3=180,，,+,得,BAE,+,CBF,+,ACD,+(,1+,2+,3)=540,，,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=540-180=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,方法二：如图，BAE+1=180 ，ABCEF,要点归纳,三角形的外角和等于,360,.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,BAE,+,CBF,+,ACD,=2(,1+,2+,3)=360.,要点归纳三角形的外角和等于360.ABCEFD(,典例精析,例,4,(,一题多解）如图，计算,BDC,.,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,A,B,D,E,A,C,D,E,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题,.,典例精析例4 (一题多解）如图，计算BDC.ABCD(,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,解：（解法一）连接,AD,并延长于点,E,.,在,ABD,中，,1+,ABD,=3,，,在,ACD,中，,2+,ACD,=4.,因为,BD,C,=3+4,，,BAC,=1+2,，,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,E,),),1,2,),3,),4,ABCD(51 20 30 解：（解法一）连接AD,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,E,),1,（解法二）延长,BD,交,AC,于点,E,.,在,ABE,中，,1=,ABE+,BAE,，,在,ECD,中，,BDC,=1+,ECD,.,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,（解法三）连接延长,CD,交,AB,于点,F,.,（解题过程同解法二）,),2,ABCD(51 20 30 E)1（解法二）延长,A,B,C,D,(,(,(,1,3,2,(,重要发现,：,BDC,=,1+,2+,3.,ABCD(132(重要发现：BDC=1+2+,1.,已知,ABC,中，,A,70,，,C,30,，,B,_.,2.,直角三角形一个锐角为,70,，另一个锐角是,_.,3.,在,ABC,中，,A,=80,，,B,=,C,，则,C,=_.,80,20,50,当堂练习,4.,如图，,AD,是,ABC,的角平分线，,B,=36,，,C,=76,，则,DAC,的度数为,_.,34,1.已知ABC中，A 70，C30，B_,5,.,如图，,D,是,ABC,的,BC,边上一点,B,=,BAD,ADC,=80，,BAC,=70，,求：（,1）,B,的度数；,（2）,C,的度数,.,在,ABC,中：,B,+,BAC,+,C,=180,，,C,=180-40-70=70.,解：因为,ADC,是,ABD,的外角,.,所以,ADC,=,B,+,BAD,=80.,又因为,B,=,BAD,，,40,A,B,70,80,C,D,5.如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD,课堂小结,三角形的内角,三角形的,内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于,180,直角三角形的两锐角互余,课堂小结三角形的内角三角形的证明了解添加辅助线的方法及其目的,课堂小结,三角形的外角,定义,角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线,性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于,360,课堂小结三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须,
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