线性代数线性方程组的基本概念

,第一节 线性方程组的基本概念,一 线性方程组的一般形式,三,Gauss,消元法,二线性方程组的矩阵与向量表示,、齐次非齐次线性方程组-复习,一、线性方程组的根本概念,设线性方程组,假设常数项 不全为零，那么称此方程组,假设常数项 全为零，那么称此方程组为,为,非齐次线性方程组,；,齐次线性方程组,.,使得方程组成立的一组数 称为,此方,程组的解,.,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,D,定理,那么线性方程组有解，并且解可以,唯一,表示为,右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,.,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组,注意,I,、线性方程组的相关定理,定理,定理,的系数行列式必为零,.,如果线性方程组无解或有无穷多解，那么它,方程组一定有解,且解是唯一的,.,如果线性方程组的系数行列式,，则线性,II,、齐次线性方程组的相关定理,如果齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组只有零解,.,如果齐次线性方程组有非零解,系数矩阵的,行列式必为零,.,定理,定理,，那么,2,、一般的线性方程组,含有,m,个方程，,n,个未知变量的线性方程组一般形式,假设常数项 不全为零，那么称此方程组,假设常数项 全为零，那么称此方程组为,为,非齐次线性方程组,；,齐次线性方程组,.,该线性方程组称为,m,n,型,线性方程组,其解为满足上述,m,个方程的,n,元向量,3,、等价的线性方程组,假设mn型线性方程组(I)和kn型线性方程组(II)的,解集合相等，那么称方程组(I)和(II)为等价的线性方程组,二、线性方程组的矩阵与向量表示,1,、矩阵表示：,上述,m,n,型,线性方程组的,矩阵表示,形式：,称为方程组的,系数矩阵,称为方程组的,增广矩阵,系数矩阵的初等变换与方程组的解的关系,定理：,设矩阵,与矩阵,是行初等变化下等价的,矩阵，,即存在可逆矩阵,，使得,则,线性方程组,为等价的线性方程组,提示：,证明二者解集合相等，即,的解也满足,，反过来也成立。,2,、向量表示：,对系数矩阵,按列分块：,则线性方程组,具有如下形式的,向量表示,：,向量表示：,注：,的,解,对应于上述线性组合的,组合系数,有解,等价于,b,是,A,的列向量的线性组合,有解,等价于,列向量组,定理：,对线性方程组 有如下结论：,和系数矩阵,A,的秩相等，即,有解的充要条件,是增广矩阵,的秩,有唯一解的充要条件,是,有无穷多解的充要条件,是,三、,Gauss,消元法,Gauss消元法的根本思想：对线性方程组进行行初等变换，,将其化为与原方程组同解且易求的,阶梯形,方程组。,1、线性方程组的初等变换三种：,互换两个方程的位置,用一个非零数,k,乘某个方程,把某个方程的,k,倍加到另外一个方程上,2,、,Gauss,消元法：,用上述初等变换将一个线性方程组化为,增广矩阵,为,行阶梯形的线性方程组的过程称为Gauss消元法,例：,解线性方程组,解,线性方程组无解,注：,若增广矩阵的行阶梯形中出现行,那么线性方程组一定无解,例：,解线性方程组,解,为任意常数,注,:,(,n,为,A,的,列数,),线性方程组有,无穷多解，且解中所含的自由变量,个数,为,