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*,14.5.,曲面的切平面与法线,1.,若曲面方程为,过曲面上点,任意,作一条在曲面上的曲线 ，,(,如图,),设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,1,2,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的,切平面,，而 就是,切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,3,过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的,法线,，其方程为,该法线的一组方向数为：,从而曲面在 点的,切平面方程为,4,综上所述若曲面方程为,则该曲面在 点的,切平面方程为,过 点的,法线方程为,5,设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的,法线方向余弦为,6,2.,若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在 （这里 ）点的,切平面方程为,法线方程为,7,3.,若曲面方程为参数形式：,如果由方程组 可以确定两个函数：,于是可以将 看成 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。,代入方程 ，得,因此需分别计算 对 的偏导数。,8,将 分别对 求导，注意到 为,的函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,9,法线方程,于是曲面在 点的,切平面方程为,10,例,1,求球面 在点 的切平面及法线方程,.,解,设,则,所以在点 处 球面的切平面方程为,法线方程,11,4.,曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的,夹角,。,如果两个曲面在该点的夹角等于,90,度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为,正交曲面,。,例,2,证明对任意常数 ，球面 与锥,面 是正交的。,12,即,证明,球面 的法线方向数为,锥面 的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积,因 在曲面上，上式右端等于,0,，所以曲面与锥面正交。,13,解,切平面方程为,法线方程为,椭球面在给定点的切平面法向量为,14,解,令,切平面方程,法线方程,15,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,16,
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